数学分析期末试题(值得)

数学分析考试题一、判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（）3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（）4.xyyxf),(在原点不可微．（）5.若),(),(yxfyxfyxxy与都存在，则),(),(yxfyxfyxxy．（）6.dyyxxyy)1(sin21在)1,0(内不一致收敛．（）7.平面图形都是可求面积的．（）8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义.（）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（）10.二重积分定义中分割T的细度T不能用}{max1ini来代替．（）二、填空题（每小题3分，共15分）1.设)sin(yxezxy，则其全微分dz．2.设32),,(yzxyzyxf，则f在点)1,1,2(0P处的梯度)(0Pgrad．3.设L为沿抛物线22xy,从)0,0(O到)2,1(B的一段，则Lydxxdy．4.边长为a密度为b的立方体关于其任一棱的转动惯量等于．5.曲面273222zyx在点（3,1,1）处的法线方程为．三、计算题（每小题5分，共20分）1．求极限xyyxyx)(lim22)0,0(),(．2．设),(yxzz是由方程zezyx所确定的隐函数，求xyz．3．设]1,0[]1,0[A，求AyxydxdyI2322)1(.4．计算抛物线)0()(2aaxyx与x轴所围的面积.AoxNC四、(10分)密度22),,(yxzyx的物体V由曲面222yxz与2z所围成，求该物体关于z轴的转动惯量．五、（10分）求第二类曲面积分Sdxdyzdzdxydydzx222其中S是球面2222)()()(Rczbyax并取外侧为正向．六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．1.求曲线6222zyx，22yxz在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程．2．证明：221140dxx．七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln)1cos(ln10abdxxxxxab．第三学期数学分析参考答案及评分标准一、判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（√）3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（）4.xyyxf),(在原点不可微．（√）5.若),(),(yxfyxfyxxy与都存在，则),(),(yxfyxfyxxy．（）6.dyyxxyy)1(sin21在)1,0(内不一致收敛．（√）7.平面图形都是可求面积的．（）8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义.（√）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（）10.二重积分定义中分割T的细度T不能用}{max1ini来代替．（√）二、填空题（每小题3分，共15分）1.设)sin(yxezxy，则其全微分dzdyyxyxxedxyxyxyexyxy)]cos()sin([)]cos()sin([．2.设32),,(yzxyzyxf，则f在点)1,1,2(0P处的梯度)(0Pgrad(1,-3,-3)．3.设L为沿抛物线22xy,从)0,0(O到)2,1(B的一段，则Lydxxdy2．4.边长为a密度为b的立方体关于其任一棱的转动惯量等于ba532．5.曲面273222zyx在点（3,1,1）处的法线方程为111193zyx．三、计算题（每小题5分，共20分）1.解：先求其对数的极限)ln(lim22)0,0(),(yxxyyx．由于)0,(0ln)ln(2222222rryxrryxxy令，所以)ln(lim22)0,0(),(yxxyyx=0，故xyyxyx)(lim22)0,0(),(=1．2.解：方程zezyx两边对x，y求偏导数，得xzexzz1yzeyzz1解得11zeyzxz32)1()1()11(zzzzzxyeeyzeeeyz。3．解：先对y后对x积分，得到10232210)1(yxydydxI1022)2111(dxxx3122ln。4．计算抛物线)0()(2aaxyx与x轴所围的面积.解：曲线ACO由函数],0[,axxaxy表示，ONA为直线0y，于是xdySDACOONAxdyxdydxaxaxa0)12(2061)2(adxxaxa。四、(10分)密度22),,(yxzyx的物体V由曲面222yxz与2z所围成，求该物体关于z轴的转动惯量．解：根据物体关于坐标轴的转动惯量的定义，得dVzyxyxJVz),,()(22作柱面坐标变换,,sin,cos:zzryrxT有VrzrJ.),,(在xy坐标面上的投影为}4),{(22yxyxD，则V在T下的原象为}20,20,22),,{(2rzrzrV于是有dzrdrdJrz2020224235256)22(22024drrr。五、（10分）求第二类曲面积分Sdxdyzdzdxydydzx222其中S是球面2222)()()(Rczbyax并取外侧为正向．解：由轮换对称性知，只须计算Sdxdyz2，由,)()(222byaxRcz利用极坐标变换可得：Sdxdyz2dxdybyaxRcdxdybyaxRcRbyaxRbyax))()(())()((222222)()(222222)()(drrRdcR220204cR338最后得到Sdxdyzdzdxydydzx222)(383cbaR。六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．1.求曲线6222zyx，22yxz在点)2,1,1(0P处的切线方程和法平面方程．解：令6),,(222zyxzyxF，22),,(yxzzyxG，-则两曲面在点)2,1,1(0P处的法向量为：)2,1,1//()4,2,2()2,2,2())(),(),((00001PzyxzyxPFPFPFn)1,2,2()1,2,2())(),(),((00002PzyxyxPGPGPGn于是曲线的切向量为：)0,1,1//()0,5,5(55122211jikji从而切线方程为：021111zyx，法平面方程为：0)1()1()1(1yx，即0yx．2．证明：221140dxx．证明:设411xt,则dtttdx4345)1(41,有dxx4011dttt434110)1(41)431,411(41)431,43(412243sin41。七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln)1cos(ln10abdxxxxxab．解：令0,01,10,ln)1cos(ln)(xxabxxxxxxgab.则)(xg在]1,0[上连续,因此有dxxgdxxxxxIab1010)(ln)1cos(ln)ln(])1cos(ln[10baabyybaxxxdyxdxdyxx令0,010,)1cos(ln),(xxxxyxfy则),(yxf在],[]1,0[ba上连续,所以有dxdyxxyba])1(lncos[10dxxxscodyyba)1(ln10)(cos)1(0tbatyexdttedy令dyyyba2)1(112222ln2122aabb。