数学奥林匹克初中训练题3

数学奥林匹克初中训练题3第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.给出如下4个命题:①若m、n为已知数，单项式2x5yn-2与(m+5)x|m-n+4|y的和为单项式，则m+n的值为-3或7.②若M、N都是只含有一个字母x的多项式，M、N的次数分别为6次、3次，则M-N2是次数不超过6的多项式.③若m为自然数，则关于x的方程(-x)m+1(-x)2m-2(-x)3m+1=xx+1x6m-1的解是x=-1，0，1.④已知AM、DN分别是△ABC、△DEF的高，AB=DE，AC=DF，AM=DN.若∠BAC=40°，∠ABC=35°，则∠DFE=105°.其中，错误命题的个数是()个.(A)0(B)1或2(C)3(D)42.如图，ABCD是边长为1的正方形，对角线AC所在的直线上有两点M、N，使∠MBN=135°.则MN的最小值是().(A)1+2(B)2+2(C)3+2(D)223.已知实数a、b、c满足0c)-(b41c)a1b)(a1(2.则代数式ab+ac的值是().(A)-2(B)-1(C)1(D)24.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BC=18，D是AB上一点，AC=BD，E是CD的中点.则AE的长是().(A)12(B)9(C)93(D)以上都不对5.已知实数a、b、c、d满足2005a3=2006b3=2007c3=2008d3，3333322222008200720062005008d2007c2006b2005a2则a-1+b-1+c-1+d-1的值为().(A)1(B)0(C)-1(D)±16.已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=2kx+3-4k与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B，P是线段AB上一点，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N.则矩形OMPN面积的最大值至少为().二、填空题(每小题7分，共28分)1.如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=2∠B，AB=a2-4b+4，AC=8c-27-2b2，CD=9+4a-c2.则BC=.2.已知实数a、b、c满足a-b+c=7，①ab+bc+b+c2+16=0.②则(a-1-b-1)abc(a+b+c)a+b+c的值为.3.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G分别是AB、OC、OD的中点，OA=AD，OB=BC，CD=3AB.则∠FEG的度数是.4.如图所示的四边形ABCD是一片沙漠地的示意图，点A、B在x轴上，E(2，6)，F(3，4).折线OFE是流过这片沙漠的水渠，水渠东边的沙漠由甲承包绿化，水渠西边的沙漠由乙承包绿化.现甲乙两人协商:在绿化规划中需将流经沙漠中的水渠取直，并且要保持甲乙两人所承包的沙漠地的面积不变.若准备在AB上找一点P，使得水渠取直为EP，则点P的坐标为.第二试一、(20分)现有三个圆柱型的容器M、N、P，其轴截面如图(a)、(b)、(c)所示，内底面积分别为S1cm2、S2cm2、S3cm2，内高分别为h1cm、h2cm、h3cm，容积分别为V1cm3、V2cm3、V3cm3(V1V2V3).这三个圆柱型容器M、N、P可以拼成六个不同形状的容器(将三个容器从上至下依次拼接为PNM、NPM、PMN、MPN、NMP、MNP)，其容积为M、N、P的容积之和.现向这6个容器均匀注水，注水速度相同，直至注满为止.其中有三个容器的水深h(cm)与注水时间t(s)的变化规律如图7、8、9所示.(1)图7、8、9所反映的规律分别是这6个容器中的哪一个?(2)求h1、h2、h3的值及S1∶S2∶S3的比值;(3)若V3=4.1254mm92cm3，注水速度为34562nnncm3／s，其中m、n为常数，求M、P、N这三个容器的容积之和.二、(25分)如图10，两条平行线l1、l2之间的距离为6，l1、l2间有一半径为1的定圆⊙O切直线l2于点A，P是直线l1上一动点.过P作⊙O的两条切线PB、PC，切点分别为B、C，分别交直线l2于点M、N.试问AM·AN是一个定值吗?若是，求出该定值;若不是，说明理由.三、(25分)已知k为常数，关于x的一元二次方程(k2-2k)x2+(4-6k)x+8=0的解都是整数.求k的值.数学奥林匹克初中训练题3参考答案第一试一、1.D.(1)当m=-5，n2时，单项式2x5yn-2与0的和2x5yn-2还是单项式.此时，m+n可为大于-3的所有整数，故命题①错.(2)当M=x6+1，N=x3+1时，M-N2=-2x3.而-2x3是三次单项式，故命题②错.(3)当m=0时，x=0使得(-x)2m-2和x6m-1无意义，此时，x=0不是原方程的解，故命题③错.(4)当DN在△DEF的内部时(如图11).易证Rt△AMC≌Rt△DNF.所以，∠DFE=∠ACM=∠BAC+∠ABC=75°.故命题④错.2.B.设AM=x.易证△ABM∽△CNB.所以，AB/CN=AM/CB，即1/CN=x/1，亦即CN=1/x.故MN=AM+AC+CN=22222)1(2xx3.A.题设等式化为4(ab+1)(ac+1)+(ab-ac)2=0，即(ab+ac)2+4(ab+ac)+4=0，亦即[(ab+ac)+2]2=0.故ab+ac=-2.4.B.如图，延长AC至点F，使CF=AD.联结BF，过点C作CG∥AB交BF于点G，联结DG、AG.因为AC=DB，CF=AD，所以，AC+CF=DB+AD，即AF=AB又∠BAC=60°，所以，△ABF为等边三角形.故AF=BF，∠F=60°.因为CG∥AB，所以，△CFG为等边三角形.故CF=FG=CG.易知△AGF≌△BCF，有AG=BC=18.又CG平行且相等AD，故四边形ACGD是平行四边形.因此，CD与AG互相平分，即E为AG的中点.故AE=21AG=21×18=9.5.D.设x=1/a+1/b+1/c+1/d，2005a3=2006b3=2007c3=2008d3=k3.显然，a、b、c、d、k同号且不为零，则由已知的第二个等式得于是，有3x=x.所以，x=0，x=-1，x=1.因a、b、c、d同号，则x≠0.故x=a-1+b-1+c-1+d-1=±1.6.C.设点P的坐标为(x0，y0)，矩形OMPN的面积为S.则x00，y00，S=x0y0.因为点P(x0，y0)在y=2kx+3-4k上，所以，y0=2kx0+3-4k.故S=x0(2kx0+3-4k)=2kx20+(3-4k)x0.因此，S最大=2k44k)-(3-02k42，即16k2-(24-8S最大)k+9=0.因为k为实数，则有Δ=[-(24-8S最大)]2-4×16×9≥0.故|24-8S最大|≥24.解得S最大≥6或S最大≤0(舍去).当S最大=6时，k=-3/4.二、1.7/3.延长AC至点E，使CE=CD，联结DE.则有∠E=∠CDE=21∠ACD=∠B.因为AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠EAD，AB/BD=AC/CD.所以，△ABD≌△AED.故AB=AE=AC+CE=AC+CD.因为AB=a2-4b+4，AC=8c-27-2b2，CD=9+4a-c2，则a2-4b+4=(8c-27-2b2)+(9+4a-c2)，即(a-2)2+2(b-1)2+(c-4)2=0.所以，a=2，b=1，c=4.从而，AB=4，AC=3，CD=1.易知BD=4/3，因此，BC=BD+CD=7/3.2.-1.由式①得(-b)+(a+c+1)=8.③由式②得(a+c+1)(-b)=c2+16.④所以，a+c+1、-b是方程x2-8x+c2+16=0的两个根.于是，有Δ=(-8)2-4(c2+16)≥0.从而，c2≤0.易知c=0.进而x1=x2=4，即a+c+1=4，-b=4，亦即a=3，b=-4.故(a-1-b-1)abc(a+b+c)a+b+c=(3-1+4-1)0[3+(-4)+0]3-4+0=-1.3.120°.如图，联结AG、BF、FG，过点E作EP⊥FG于点P.设AB=2a，则CD=3AB=23a.因为OA=AD，G是OD的中点，于是，AG⊥OD.所以，∠AGB=90°.同理，∠AFB=90°.因此，A、B、F、G四点共圆，其直径为AB、圆心为E.又F、G分别是OC、OD的中点，所以，FG=21CD=3a=2asin21∠FEG.故21∠FEG=60°，∠FEG=120°.4.(5/3，0).如图，联结OE，过点F作FP∥OE交AB于点P，联结EP交OF于点G.因OE∥PF，则S△OEF=S△OEP.故S△OEF-S△OEG=S△OEP-S△OEG，即S△EFG=S△OGP.所以，EP为水渠取直路线，点P即为所求.易求直线OE的解析式为y=3x.因为OE∥PF，于是，直线PF的解析式可设为y=3x+b.又F(3，4)，则有4=3×3+b，即b=-5.所以，直线PF的解析式为y=3x-5.当y=0时，3x-5=0，x=5/3.因此，点P的坐标为(5/3，0).第二试一、(1)从图7知注满M、N、P三个容器共需60s，从图8知注满M、N、P三个容器中的两个容器需要54s，于是，注满图8所示的容器的最上面一个容器需要60-54=6(s).同理，注满图9所示的容器的最上面一个容器需要60-24=36(s).由此可知，注满第三个容器需要60-6-36=18(s).因为注水速度一定，且V1V2V3，所以，注满M、N、P三个容器分别需要36s、18s、6s.因此，图7、8、9所反映的规律分别是NPM、PMN、MNP三种形式的容器.(2)设注水速度为Vcm3／s.由图7、8、9及第(1)问的结果知h1+h3=24，h2+h1=30，h2+h3=18;V1+V2+V3=60V，V2+V1=54V，V3+V2=24V.解得h1=18，h2=12，h3=6;V1=36V，V2=18V，V3=6V.所以，S1=V1/h1=36V/18=2V，S2=V2h2=18V/12=32V，S3=V3h3=6V/6=V.故S1∶S2∶S3=2V∶32V∶V=4∶3∶2.(3)因为m2+4m+4.125=(m+2)2+0.125，所以，当m=-2时，m2+4m+4.125的最小值为0.125.因此，V3≤72.因注水速度V=3n456nn2，即n2+(6-V)n+(45-3V)=0，故Δ=(6-V)2-4×1×(45-3V)≥0.从而，V≥12或V≤-12(舍去).当n=3时，V的最小值为12.由(2)知，V3=6V.又V3≤72，6V≥72，则V3=6V=72.此时，m=-2，n=3.于是，V=12.故V1+V2+V3=60V=60×12=720(cm3).因此，所求的容积之和为720cm3.二、如图，过点P作PD⊥l2于点D，联结OA、OB、OC、OM、ON、OP.则PD=6，OA=OB=OC=1.设AM=m，AN=n，PC=p，DN=x，则DM=m+n-x.由题意知，⊙O是△PMN的内切圆，所以，BM=AM=m，CN=AN=n，PB=PC=p;OA⊥MN，OB⊥PM，OC⊥PN.又S△PMN=S△OMN+S△ONP+S△OPM=21MN·OA+21PN·OC+21PM·OB=21(MN+PN+PM)=m+n+p，S△PMN=21MN·PD=3(m+n)，则m+n+p=3(m+n).故p=2m+2n.①在Rt△PDN和Rt△PDM中，由勾股定理得PD2+DN2=PN2，PD2+MD2=PM2，即62+x2=(p+n)2，②62+(m+n-x)2=(m+p)2.③②-③得(m+n)(2x-m-n)=(n-m)(m+n+2p)=5(n-m)(m+n)，即x=3n-2m.④把式④代入式②得36+(3n-2m)2=(2m+3n)2，即36=24mn.从而，mn=1.5，即AM·AN=1.5.因此，AM·AN为定值，且定值为1.5.三、当k=0时，原方程化为4x+8=0，解得x=-2.故当k=0时，原方程的解都是整数.当k=2时，原方程化为-8x