数学建模_宿舍人员分配的问题(答案)

数学模型大作业金数1102聂中一20110921110摘要：我们遇到人员分配的问题，我们很自然就会想到人多一方分的多，人少一方分的少。但粗略的分配到底是否公平，我们必须好好考虑一下，本题就是讨论人员分配的公平性问题。依据题中给出的信息、条件，讨论一下到底怎么分配是公平的，本题是关于10个名额的分配问题，分别使用了比例模型、Q值法、d’Hondt法。然后，将名额增至15人后代回上述模型进行检验，发现结论相差不大。得出应将三个模型综合考虑较为合理。即：先用比例法确定基础，然后用d’Hondt法分配，再用Q值法调整。而且我们通过d’Hondt法得出自己的一种方法，即调整其除数以获取合理的分配方案。一、问题的重述有这样一个关于选学生委员的问题。学校有1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，怎样公平合理的分配各宿舍的委员数。再进一步讨论验证：如果人数增至15人，用之前使用的方法还公不公平。二、问题分析首先建立一个比例加惯例模型，然后因为A,B,C宿舍的人数都不是整百，是无规律不成比例的，所以在题（2）中用Q值法进一步讨论分析，最后用d’Hondt进行比较。三、模型假设（1）各个宿舍相互独立互不影响，且始终人数保持不变(无搬入搬出现象)；（2）分配时严格遵循制定的方案；（3）几个委员无等级差别四、模型的建立与求解(1)模型Ⅰ：比例加惯例方案由题意可知，取整数的名额后，A宿舍2人，B宿舍3人，C宿舍4人。由于小数部分，A是0.35，B是0.33，C是0.32，则剩下的一个名额应该分配给A宿舍，故而最后的结果是3，3，4。为了方便观察，建立如下表格：系别人数人数的比例（%）10个委员分配比例分配人数按惯例分配人数A23523.52.353B33333.33.333C40043.24.324总和1000100.010.0010(2)模型Ⅱ：Q值法由Q值法，先由比例计算结果将整数部分的9个名额分配完毕，有nA=2，nB=3，nC=4，然后可用Q值法分配第10个名额。利用公式minnpQiiii,,2,1,12计算，QA=2352/(2*3)=9204.2，QB=3332/(3*4)=9240.8，QC=4322/(4*5)=9331.2，QC最大，于是这一名额应分给C宿舍。故而最后的分配结果是2，3，5。建立表格如下：宿舍学生人数10个名额分配比例分配各方Q值分配结果A2352.3592042B3333.3392403C4324.3293315总和100010-----10(3)模型Ⅲd’Hondt方法：d’Hondt方法的原理即:取一个人时，他所能代表的人数。如取5人时，商为每个人在该群体中所能代表的个数。将A,B,C各宿舍的人数用正整数,3,2,1n相除，其商数如下表：12345A235117.578.358.75…B333166.511183.25…C43221614410886.4将所得商数从大到小取前十个（10为席位数），即表中有下划线的十个。所以如下表为此法的分配方案：宿舍学生人数分配人数A2352B3333C4325总和100010五，模型的检验如果将人数增至为15人，结合10人时的情况，以此检验各个模型的公平性：（1）模型Ⅰ：比例加惯例法宿舍学生人数学生人数比例（%）10个名额分配15个名额分配比例分配惯例分配比例分配惯例分配A23523.52.3533.534B33333.33.3334.995C43243.24.3246.486总和100010010101515(2)模型Ⅱ：Q值法宿舍学生人数10个名额分配15个名额分配比例分各方Q值分配比例分配各方Q各方分配配结果值(1)Q值(2)结果A2352.35920423.53460246024B3333.33924034.99554436965C4324.32933156.48444344436总和100010-----1015---------15（3）模型Ⅲ：d’Hondt法宿舍学生人数10个名额分配15个名额分配A23523B33335C43257总和10001015综上分析可得，增至为15个名额时，模型一，二的结果是一样的，仅模型三的结果分别为：3，5，7人。用Q值法原理里的“相对不公平度”检验一下。即：对A相对不公平度：22121,qqqnnrA，111npq，222npq；对B相对不公平度：11221,qqqnnrB，111npq，222npq；(4)根据d’Hondt法，我们将A,B,C各宿舍的人数用正整数m=1,3,5,7…相除，其商数如下表135791113A23578.34733.626.121.36……B33311166.647.63730.27……C43214486.461.74839.2……可得分配方案为：2,3,5。其结果与d’Hondt法的结果相同，即本模型具有一定的合理性，可以适当运用于实际当中。六、模型评价此问题考虑的因素过少，实际问题中不可能如此单一，尤其是个人的客观因素，如果模型要进行推广，必须要进一步分析并加入其他模型。而且，后两种模型的前半部分都是以第一个模型---比例法作为基础分析的，难免受其影响。七、参考文献[1]姜启源，谢金星；《数学建模与实验》；高等教育出版社；2008年5月[2]韩中庚；《数学建模竞赛》；科学出版社；2007年5月