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1《函数单调性》的教学案例教学环境:多媒体教室,教师机可以运用多媒体计算机并借助于预先制作的多媒体教学软件来开展的教学活动等等。教材分析:函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质,是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念,为进一步学习函数其它性质提供了方法依据.对于函数单调性,学生的认知困难主要在两个方面:(1)要求用准确的数学符号语言去刻画图像的上升与下降,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的;(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。教学目的:1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.2.通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力.3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.教学重点:函数单调性的概念、判断及证明.教学难点:归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.教学方法:启发式讲授,探究性学习.教具:计算机、投影仪.教学过程:创设情境引入新课师:上节课,我们学习了函数的三种表示法,分别为:(师语音拉长,师生一块儿回答)生:列表法、公式法、图像法。师:它们的区别是什么?生:列表法就是用表格来表示函数的方法;公式法是用函数解析式来表示函数的方法;图像法是使用平面直角坐标系里的图形来表示函数的方法。2师:这三者之间又有密切的联系,它们之间可以相互转化。我们要研究一个函数,可以由解析式来研究,还可以由图像来研究,这就是我们前面接触过的数形结合思想。在生活中,很多现象都绘制成一个图像,我们可以根据图像来研究它们的规律,如:篮球入篮的路线,篮球运动员可以据此更好的将篮球投入框中等等,可见研究图像是非常必要的。合作交流探索新知这节课我们就来研究一下函数图像的性质。我们先来研究一下2,yxxR的图像有什么特点?为了研究这个问题,请同学们在草稿本上按照:列表→描点→连线,三个步骤画出其函数图像。师:观察学生所画图形,借助几个好点的学生作图在展台下展示给学生。其图像为抛物线开口大小和方向由常数a决定,水平位置由常数b决定,竖直位置由常数c决定。师:请同学们在自己所作图像上左右各取5点,观察其在抛物线上的变化?,,xy的值又是怎样变化的?生甲:当取点由原点开始,越往左,点越高;越往右,点也越高,所以从整体看点是越来越高。师:同学们觉得他说的对不对呢?(部分同学说对,部分同学不说话,感到有些疑惑,也有同学说不对)请回答不对的乙同学回答。生乙:它是从中间观察的,应先向左看,再向右看。师:对,我们研究任何事物都要遵循一定的规律,观察图像要方向一致,我们可以采取从左向右看。生丙:当取点由左向右时,图像上的点整体先下降,后上升,图像的左边那部分整体是下降的,随着x的增大,函数值y在减小;图像的右边那部分整体是上升的,随着x的增大,函数值y在增大。师:我们研究的函数2yx,其定义域为R,同学们所说的两个部分可以认为是定义域内的两个区间,区间,0和0,。在区间,0内,函数从左到右是一段下降的曲线,随着x的增大,函数值y在减小,则称函数2yx在区间,0上是严格递减的。在区间0,内,函数从左到右是一段上升的曲3线,随着x的增大,函数值y在增大,则称函数在区间0,上是严格递增的。提出问题:如何将它转化为数学语言呢?(学生讨论)提示:打个比方,如果你组织班里的同学从左到右按由低到高排成一队,你如何来证明你是按照这样的顺序排的呢?学生甲:我们可以从此队中取两位同学来测量高度,只要取的那两位同学,左边同学身高右边同学身高,就可以说明我是按照从左到右由低到高排的队。学生乙:那两位同学符合但其他同学呢?所以那两位同学不具有代表性。学生甲:那你可以随便取。师:“随便取”用我们数学的语言来说就是——“任意取”。(提示甲)你试着用数学的语言来重新叙述你的观点学生甲:我们可以从此队中任意取两位同学来测量高度,只要任意取的那两位,左边同学身高右边同学身高,就可以说明我是按照从左到右由低到高排的队。师:“在区间,0,随着x的增大,函数值在减小”如何用数学语言描述呢?学生丙:受刚才那个例子的启发,要说明在区间,0内所有点的x增大,y都减小,我们可以在这个区间内任意取12,xx,当12xx时,都有12()()fxfx,那么这个问题就解决了。总结深化得出概念我们得到以下概念教师打出一张PowerPoint幻灯片1.设函数()fx的定义域为A,区间IA,如果对于任意的12,xxI,当12xx时,都有12()()fxfx,(1)则称函数()fx在区间I上是严格递增的。(或者说函数()fx在区间I上是增函数)称区间I是单调上升区间。2.设函数()fx的定义域为A,区间IA,如果对于任意的12,xxI,当12xx时,都有12()()fxfx,(2)4则称函数()fx在区间I上是严格递减的。(或者说函数()fx在区间I上是减函数)称区间I是单调下降区间。说明:如果在(1)中把“”换成“”则称函数()fx在区间I上是递增的。如果在(2)中把“”换成“”则称函数()fx在区间I上是递减的。3.如果函数()fx在定义域上是递增的(或递减的)则称()fx是单调函数。如果函数()fx在定义域上是严格递增的(或严格递减的)则称()fx是严格单调函数。4.函数在某个区间上是递增或递减的性质统称为函数的单调性。练习:判断下列结论是否正确①是增函数所以函数因为已知)(),2()1(,1)(xfffxxf。②若函数上为增函数,在区间则函数满足]32[)(),3()2()(xfffxf。③若函数)(xf在区间]2,1(和(2,3)上均为增函数,则函数)(xf在区间(1,3)上为增函数。④因为函数xxf1)(在区间),0()0,(和上都是减函数,所以xxf1)(在),0()0,(上是减函数。通过判断题,强调三点:①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数)。③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在UUBA上是增(或减)函数。思考:如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?掌握证法例证明函数VKP在),0(上是增函数。1.分析解决问题,针对学生可能出现的问题,组织学生讨论、交流。证明:任取2121),,0(,VVVV且,设元212122)()(VVVfVf求差52112VVVVK变形,021vv断号∴,0,02121vvvv∴,0)()(21vfvf即),()(21vfvf∴函数vvf2)(在),0(上是增函数.定论2.归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤:设元、作差、变形、断号、定论.练习:证明函数xxf)(在),0[上是增函数.问题:要证明函数)(xf在区间),(ba上是增函数,除了用定义来证,如果可以证得对任意的),(,21baxx,且21xx有0)()(1212xxxfxf可以吗?引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数xxf)(在),0[上是增函数.〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.等价形式进一步发展可以得到导数法,为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.(带着思考结束函数单调性的概念教学,相信这个问题学生可以自己解决。)教学反思在以后的教学中多注意从学生的已有知识和生活经验出发围绕知识目标展开新的知识出现的情境,丰富学生的情感体验,在知识得到有效落实的同时,达成能力目标,突出基础知识的应用和基本技能的运用。在知识运用方面应强调数学走向生活,解决具有现实意义的生活问题,培养学生的数学建模能力。
本文标题:数学案例论文
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