新人教版九年级数学第一章直角三角形的边角关系

第一章证明（二）执教：曾玉新11、你能证明它们吗(一)教学目标：1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。2.经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。3.掌握证明的基本步骤和书写格式。教学重点、难点：重点：了解作为证明基础的几条公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。难点：能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。教学过程：一.复习：1、什么是等腰三角形？2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？二.新课讲解：在八年级《证明（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。同学们和我一起来回忆上学期学过的公理本套教材选用如下命题作为公理:1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）定理：等腰三角形的两个底角相等。这一定理可以简单叙述为：等边对等角。已知：如图，在ABC中，AB＝AC。求证：∠B＝∠C证明：取BC的中点D，连接AD。∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABC△≌△ACD(SSS)第一章证明（二）执教：曾玉新2∴∠B=∠C(全等三角形的对应边角相等)（让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。做∠BAC的平分线，交BC边于D；过点A做AD⊥BC。学生指出该定理的条件和结论，写出已知、求证，画出图形，并选择一种方法进行证明。）想一想：在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。三.随堂练习：课本P41，2,（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。）四.课堂小结：通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。五.作业：P5习题1.12.3.六.教后反思：第一章证明（二）执教：曾玉新31、你能证明它们吗(二)教学目标：1.进一步了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。2.经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。3.能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。4.了解反证法的推理方法，能运用反证法证明简单的命题。5.会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题。教学重点、难点：重点：正确叙述结论及正确写出证明过程。熟悉作为证明基础的几条公理的内容，通过学习，掌握证明的基本步骤和书写格式。难点：等腰三角形的定理应用及由特殊结论归纳出一般结论。教学过程：一.复习回顾：你知道等腰三角形具有怎样的性质吗?、二.引导探索：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线具有上述的性质，那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高线又具有怎样的性质呢？（提出问题，激发学生探究的欲望。学生猜想）探究中发现：在等腰三角形中做出两底角的平分线，你会发现图中有那些相等的线段？你能用文字叙述你的结论吗？（学生动手画图、探索发现相等的线段并思考为什么相等）三.例题讲解（1）例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等。（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线。求证：BD＝CE（一生口述证明过程，然后写出证明过程。）分析如下第一章证明（二）执教：曾玉新4证明：（略）提问：此题还有其它的证法吗？（2）你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证并证明。其它证法合作交流完成。）4、议一议1：在上图的等腰△ABC中，如果∠ABD＝1/3∠ABC,∠ACE＝1/3∠ACB,那么BD＝CE吗？如果∠ABD＝1/4∠ABC,∠ACE＝1/4∠ACB呢？由此你能得到一个什么结论？（根据图形引导学生分析归纳得出一般结论。学生分组思考、交流，在充分讨论的基础上得出一般结论写出证明过程。）（3）如果AD＝1/2AC,AE＝1/2AB,那么BD＝CE吗？如果AD＝1/3AC,AE＝1/3AB,呢？由此你能得到一个什么结论？议一议2：把“等边对等角”反过来还成立吗？你能证明？定理证明已知：在ΔABC中∠B=∠C求证：AB=AC（引导学生证明定理）5、想一想:小明说，在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等,你认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它?证明参考P8反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立的证明方法。四.随堂练习用反证法证明：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。五.课堂小结：(1)归纳判定等腰三角形判定有几种方法,(2)证明两条线段相等的方法有哪几种。（讨论、交流）(3)通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。等腰三角形的判定定理。了解反证法的推理方法。六.作业：课本p9习题1.22.3.七.教后反思：第一章证明（二）执教：曾玉新51你能证明他们吗？（三）教学目标：1.进一步学习证明的基本步骤和书写格式。2.掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理。教学重点、难点：关于综合法在证明过程中的应用。教学过程：一.温故知新1、已知：∠ABC,∠ACB的平分线相交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E(1)找出图中的等腰三角形(2)BD,CE,DE之间存在着怎样的关系？(3)证明以上的结论。2、复习关于反证法的相关知识练习：证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。（笔试，进一步巩固学习证明的基本步骤和书写格式）学一学探索问题：①一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？②你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的思路吗？（把你的思路与同伴进行交流。）定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。1、做一做：用两个含30°角的三角尺，能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由。由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？（提示学生根据两个三角尺拼出的图形发现结论，并证明）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°延长BC至D,使CD=BC,连接AD∵∠ACB=90°∴∠ACD=90°∵AC=AC∴△ABC≌△ADC(SSS)∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)∴△ABD是等边三角形∴BC=21BD=21AB得到的结论：第一章证明（二）执教：曾玉新6在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。二.例题学习等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高。已知：在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°度，CD是腰AB上的高求：CD的长解：∵∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°∴CD=12AC=12×2a=a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)三.随堂练习：课本p13页随堂练习1.2.四.课堂小结：通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？（学生小结：掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理）五.作业：课本P14页习题1.31.2.六.板书设计：七.教后反思：ADBC1、你能证明它们吗(三)有一个角等于60°的等腰三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，是等边三角形。那么它所对的直角边等于斜边的一半。第一章证明（二）执教：曾玉新72.直角三角形（一）教学目标：1.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。2.了解勾股定理及其逆定理的证明方未能，能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。3.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。教学重、难点教学过程：一.引入：我们曾经利用数方格和割补图形的方未能得到了勾股定理。实际上，利用公理及其推导出的定理，我们能够证明勾股定理。二.新课讲解定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，延长CB至点D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，连接ED、AE，则△ABC≌△BED。∴∠BDE=90°，ED=a（全等三角形的对应角相等，对应边相等）。∴四边形ACDE是直角梯形。∴S梯形ACDE=12(a+b)(a-b)=12(a+b)2∴∠ABE=180°-∠ABC-∠EBD=180°-90°=90°AB=BE∴S△ABC=12c2∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED,∴12(a+b)2=12c2+12ab+12ab即12a2+ab+12b2=12c2+12ab+12ab∴a2+b2=c2反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？已知：如图，在△ABC，AB2+AC2=BC2，求证：△ABC是直角三角形。证明：作出Rt△A’B’C’，使∠A=90°，A’B’=AB，A’C’=AC，则第一章证明（二）执教：曾玉新8A’B’2+A’C’2=B’C’2（勾股定理）∵AB2+AC2=BC2，A’B’=AB，A’C’=AC，∴BC2=B’C’2∴BC=B’C’∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)∴∠A=∠A’=90°(全等三角形的对应角相等)因此，△ABC是直角三角形。定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为另一个命题的互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理。这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。三.随堂练习课本p181.四.布置作业课本P20习题1.41.2.五.教后反思第一章证明（二）执教：曾玉新92.直角三角形（二）教学目标：1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立。教学重点、难点：进一步掌握演绎推理的方法。教学过程：一.温故知新1、你记得勾股定理的内容吗？你曾经用什么方法得到了勾股定理？（由学生回顾得出勾股定理的内容。）定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。二.学一学1、问题情境：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？已知：在ΔABC中，AB2+AC2=BC2求证：ΔABC是直角三角形（讲解证明思路及证明过程，引导学生领会证明思路及证明过程，得出结论。）结论：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方