微积分下册知识点

微积分（下）知识点第1页共17页微积分下册知识点第一章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设),,(zyxaaaa，),,(zyxbbbb，则),,(zzyyxxbabababa,),,(zyxaaaa；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：222zyxr；2）两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,4）方向余弦：rzryrxcos,cos,cos1coscoscos2225）投影：cosPraaju，其中为向量a与u的夹角。（二）数量积，向量积1、数量积：cosbaba1）2aaa2）ba0ba微积分（下）知识点第2页共17页zzyyxxbabababa2、向量积：bac大小：sinba，方向：cba,,符合右手规则1）0aa2）ba//0bazyxzyxbbbaaakjiba运算律：反交换律baab（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：0),,(:zyxfS2、旋转曲面：yoz面上曲线0),(:zyfC，绕y轴旋转一周：0),(22zxyf绕z轴旋转一周：0),(22zyxf3、柱面：0),(yxF表示母线平行于z轴，准线为00),(zyxF的柱面4、二次曲面（不考）微积分（下）知识点第3页共17页1）椭圆锥面：22222zbyax2）椭球面：1222222czbyax旋转椭球面：1222222czayax3）单叶双曲面：1222222czbyax4）双叶双曲面：1222222czbyax5）椭圆抛物面：zbyax22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax22227）椭圆柱面：12222byax8）双曲柱面：12222byax9）抛物柱面：ayx2（四）空间曲线及其方程1、一般方程：0),,(0),,(zyxGzyxF微积分（下）知识点第4页共17页2、参数方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋线：btztaytaxsincos3、空间曲线在坐标面上的投影0),,(0),,(zyxGzyxF，消去z，得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxH（五）平面及其方程1、点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA法向量：),,(CBAn，过点),,(000zyx2、一般式方程：0DCzByAx截距式方程：1czbyax3、两平面的夹角：),,(1111CBAn，),,(2222CBAn，222222212121212121cosCBACBACCBBAA210212121CCBBAA21//212121CCBBAA4、点),,(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离：222000CBADCzByAxd（六）空间直线及其方程微积分（下）知识点第5页共17页1、一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA2、对称式（点向式）方程：pzznyymxx000方向向量：),,(pnms，过点),,(000zyx3、参数式方程：ptzzntyymtxx0004、两直线的夹角：),,(1111pnms，),,(2222pnms，222222212121212121cospnmpnmppnnmm21LL0212121ppnnmm21//LL212121ppnnmm5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sinpnmCBACpBnAm//L0CpBnAmLpCnBmA第二章多元函数微分法及其应用（一）基本概念微积分（下）知识点第6页共17页1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：),(yxfz，图形：3、极限：Ayxfyxyx),(lim),(),(004、连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx5、偏导数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000006、方向导数：coscosyfxflf其中,为l的方向角。7、梯度：),(yxfz，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。8、全微分：设),(yxfz，则dddzzzxyxy（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义12234微积分（下）知识点第7页共17页2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定义：ux2）复合函数求导：链式法则z若(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy，则vyzzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数),(yxfz的极值解方程组00yxff求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，①若02BAC，0A，函数有极小值，若02BAC，0A，函数有极大值；②若02BAC，函数没有极值；③若02BAC，不定。2）条件极值：求函数),(yxfz在条件0),(yx下的极值令：),(),(),(yxyxfyxL———Lagrange函数解方程组0),(00yxLLyx微积分（下）知识点第8页共17页2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),,(000zyxM（对应参数为0t）处的切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为：0))(())(())((000000zztzyytyxxtx2）曲面的切平面与法线曲面0),,(:zyxF，则上一点),,(000zyxM处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第三章重积分（一）二重积分（一般换元法不考）1、定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2、性质：（6条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标微积分（下）知识点第9页共17页bxaxyxyxD)()(),(21，21()()(,)ddd(,)dbxaxDfxyxyxfxyydycyxyyxD)()(),(21，21()()(,)ddd(,)ddycyDfxyxyyfxyx2）极坐标)()(),(21D21()()(,)dd(cos,sin)dDfxyxydf（二）三重积分1、定义：nkkkkkvfvzyxf10),,(limd),,(2、性质：3、计算：1）直角坐标Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),,(ddd),,(-------------“先一后二”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),,(dd),,(-------------“先二后一”2）柱面坐标微积分（下）知识点第10页共17页zzyxsincos，(,,)d(cos,sin,)dddfxyzvfzz3）球面坐标cossinsincossinrzryrx2(,,)d(sincos,sinsin,cos)sindddfxyzvfrrrrr（三）应用曲面DyxyxfzS),(,),(:的面积：yxyzxzADdd)()(122第五章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：01(,)dlim(,)niiiLifxysfs2、性质：1）[(,)(,)]d(,)d(,)d.LLLfxyxysfxysgxys2）12(,)d(,)d(,)d.LLLfxysfxysfxys).(21LLL3）在L上，若),(),(yxgyxf，则(,)d(,)d.LLfxysgxys微积分（下）知识点第11页共17页4）lsLd(l为曲线弧L的长度)3、计算：设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为)(),(),(ttytx，其中)(),(tt在],[上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则22(,)d[(),()]()()d,()Lfxysfttttt（二）对坐标的曲线积分1、定义：设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧，函数),(yxP，),(yxQ在L上有界，定义nkkkkLxPxyxP10),(limd),(，nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(.向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(d),(d2、性质：用L表示L的反向弧,则LLryxFryxFd),(d),(3、计算：设),(,),(yxQyxP在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为):(),(),(ttytx，其中)(),(tt在],[上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则(,)d(,)d{[(),()]()[(),()]()}dLPxyxQxyyPtttQtttt4、两类曲线积分之间的关系：微积分（下）知识点第12页共17页设平面有向曲线弧为)()(tytxL：，L上点),(yx处的切向量的方向角为：,，)()()(cos22ttt，)()()(cos22ttt，则dd(coscos)dLLPxQyPQs.（三）格林公式1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数),(,),(yxQyxP在D上具有连续一阶偏导数,则有LDyQxPyxyPxQdddd2、G为一个单连通区域，函数),(,),(yxQyxP在G上具有连续一阶偏导数，则yPxQ曲线积分ddLPxQy在G内与路径无关曲线积分dd0LPxQyyyxQxyxPd),(d),(在G内为某一个函数),(yxu的全微分（四）对面积的曲面积分