探究与创新中考命题的主旋律

1探究与创新,中考命题的主旋律课改中考数学探索型试题探析“探究是数学教学的生命线。”探索型试题往往体现了类比、归纳、发现、猜想、探究、验证等数学思想和方法，有利于考查学生的阅读理解、分析推理、知识迁移、概括归纳、探索研究、发现创新等能力，越来越受到命题专家的重视与青睐。特别反映在2004、2005年国家级课改实验区中考的数学试题中，这类试题题量多，占分高，分量重，立意新，格外引人注目，成为中考命题的主旋律。由于课改实验区中考试题不仅对今年课改中考，而且对全国其它地区的中考命题都将会产生较大影响。因此，对课改中考数学探索型试题的探析显得尤为重要，也很有必要。细析这两年课改实验区中考数学试题，其中出现的探索性试题主要类型有：一、条件探索型此类题的特点是：结论确定，而需探索发现使结论成立的条件。例1（04青海湟中）已知二次函数cbxxy221的图象经过点A（C，-2），，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=3。题目中矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。略解：（1）根据题意可得32ab，23212xxy，21a解得抛物线的解析式：23212xxy（2）如可加①过抛物一上任一点的坐标；②顶点坐标为（3，25）；③与x轴交点坐标（3+5，0）或（3-5，0），④与y轴的交点坐标（0，2）等等。【探析】这类题目的解题方法一般是：把求证的结论：对称轴是直线x=3作为2题目的已知条件，然后结合题目中原有的条件，这样本题就可知：①32ab，②过A（C，-2），③21a。根据这三个条件，就可求解析式，然后根据所求的抛物线解析式，只要添加符合这个解析式的任何一个条件（除与已知相同的条件）都合乎题意。二、结论探索型这类题目的特点是：给定条件但无明确结论或结论不唯一，而需要探索发现与之相应的结论，并运用所学的知识进行认证。例2，（04黑龙江省宁安市）如图，四边形ABCD中，点E在边CD上，连结AE，BE。给出下列五个关系式：①AD∥BC；②DE=CE；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB。将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题。（1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果×××，那么×××），并给出证明；（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）；（3）加分题：真命题不止以上四个，想一想，就能够多写出几个真命题，每多写一个真命题就给你加1分，最多加2分。略解：（1）如果①②③，那么④⑤；证明略（2）如果①②④，那么③⑤；如果①③④，那么②⑤；如果①③⑤，那么②④（3）略【探析】这类题往往是开放性的，它既考查学生分析问题的能力，也渗透了分类讨论的思想，同时又考查了学生的推理论证的能力。如本例在写出结论之前必须先通过证明，不能随意写，否则会出现如：如果②③④，那么①⑤这种假命题。三、存在探索型此类题的特点是：在一定的前提条件下，需要探索发现某种数学关系，或某个结论是否存在。例3，（05辽宁省）如图Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角3形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=3，∠CAO=30º，将Rt△CAO折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE。（1）求折痕CE所在直线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。略解：（1）E的坐标是（1，0）。直线CE的解析式为y=-3x+3（2）点D的坐标是（23，23）。（3）第一种情况：此点在第四象限内，M1（23，-23）第二种情况：此点在第二象限内，M2（-23，235）。【探析】这类题目一般是用反演推理法（反证法），解题的基本策略是先假设存在，即首先做出假设，假设结论成立。若是几何题则以此为前提，从假设出发，结合已知条件，进行推理论证，有时还要进行必要的计算。若推理论证或计算的结果是合理的，或与已知的某定理（公理）相容，则肯定先前的假设是正确的，则存在；若推理论证的结果是不合理的，或与某个结果矛盾，或与已知的某个定理（公理）相悖，则否定先前的假设，则不存在。若是代数题又往往把它转化为二次函数的最值问题来解决。四、规律探索型此类题的特点是：在一定条件状态下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性，从而得出问题的结论。例4，（贵阳）如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn。4（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；（4）求四边形A5B5C5D5的周长。略解：（1）根据三角形中位线定理可证；（2）四边形A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6；（3）四边形AnBnCnDn的面积为24×21；（4）矩形A5B5C5D5的周长=27【探析】此类题的解法往往运用数值代入，先将具体的（或特殊的）数值给予代入，进行归纳、概括，从特殊到一般，找到其内在的本质联系，从而得出解题的规律。五、操作探索型此类题的特点是：让学生从动手操作中，经过探究——发现——归纳，然后解决问题。题目表现出答案不惟一性，有时需多次尝试才能得出结论。例5，（05福州市）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=5cm,CD=6cm,∠DCB=60°,∠ABC=90°。等边三角形MPN（N为不动点）的边长为acm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线l上，NC=8cm。将直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去。（1）将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a≥2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？（2）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形的边长a至少应为多少？（3）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形n5与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？略解，（1）重叠部分的面积等于3cm2（2）等边三角形的边长a至少应为10cm（3）等边三角形的边长为（21+2）cm.例6，（04大连）如图1⊙O1和⊙O2内切于点P。C是⊙O1上任一点（与点P不重合）。实验操作：将直角三角形的直角顶点放在点C上，一条直角边经过点⊙O1，另一条直角边所在的直线交⊙O2于点A、B，直线PA、PB分别交⊙O1于点E、F，连结CE（图2是实验操作备用图）。探究：（1）你发现CE、CF有什么关系？用你学过的数学知识证明你的发现；（2）现线段CE、PE、BF有怎样的比例关系？证明你的发现。附加题：如图3，若将上述问题的⊙O1和⊙O2由内切变为外切，其它条件不变，请你探究线段CE、PE、BF有怎样的比例关系，并证明。略解，（1）CE=CF（2）结论：CE2=BF·PE。附加题：结论：CE2=PE·BF。【探析】这类题的解法一般都需要先动手进行操作，把符合条件的图形先画出来，再结合图形进行猜想，然后运用所学的知识，对猜想进行认证，若能证出则猜想的结论正确；反之则再进行猜测，直到写出能证出的结论为止。找结论的常用方法是：两条线段的关系，一般是相等的；四条或三条线段的关系一般是等积式，通过相似可以找到；图形位置变动的，得到的结论与前面的结论基本类似。由以上几例可见，“提供新材料，创设新情景，提出新问题，探索新结论”，已经成为这类试题设计的新模式、新特点。它既是中考数学命题的一个新亮点，也必将成为今后中考命题的一个新热点。对此，我们在中考数学复习和今后数学教学中必须予以足够的重视。