实验一用FFT进行信号谱分析

实验一用FFT进行信号谱分析一.实验目的：A.进一步加深DFT算法原理和基本性质的理解（因为FFT只是DFT的一种快速算法，所以FFT的运算结果必然使DFT得基本性质）。B.熟悉FFT算法原理和FFT子程序的应用。C.学习用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的算法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT。二.实验原理：DFT是离散傅里叶级数（DFS）在时域和频域内的两个主值序列构成的变换对：𝑋(𝑘)=𝐷𝐹𝑇[𝑥(𝑛)]=∑𝑥(𝑛)𝑁−1𝑛=00≤𝑘≤𝑁−1𝑥(𝑛)=𝐼𝐷𝐹𝑇[𝑋(𝑘)]=1𝑁∑𝑋(𝑘)𝑁−1𝑘=0𝑊𝑛−𝑘𝑛0≤𝑘≤𝑁−1用DFT来分析有限长序列的频谱特性。FFT是DFT的快速算法，常用的两种快速算法有按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法，其中按时间抽取的FFT算法如下式：𝑋(𝑘)=𝑋1(𝑘)+𝑊𝑁𝑘𝑋2(𝑘)k=0,1,2…𝑁2−1𝑋(𝑘+𝑁2)=𝑋1(𝑘)−𝑊𝑁𝑘𝑋2(𝑘)k=0,1,2…𝑁2−1按频率抽取的FFT算法如下：𝑋(𝑘)=∑[𝑥(𝑛)+(−1)𝑘𝑥(𝑛+𝑁2)]𝑊𝑁𝑘𝑁2−1𝑛=0k=0,1,2…N−1三.实验数据1、𝑥1(𝑛)及其8点和16点DFT2、𝑥2(𝑛)及其8点和16点DFT3、𝑥3(𝑛)及其8点和16点DFT4、𝑥4(𝑛)的8点和16点波形及其DFT5、𝑥5(𝑛)的8点和16点波形及其DFT6、𝑥6(𝑛)的16点、32点和64点采样序列波形及其DFT选7时，①计算并图示𝑥7(𝑛)=[𝑥4(𝑛)+𝑥5(𝑛)]∗𝑅8(𝑛)和𝑥7(𝑛)=[𝑥4(𝑛)+𝑥5(𝑛)]∗𝑅16(𝑛)及其DFT。②程序自动计算并绘图验证DFT的共轭对称性。当N=16时，𝑥4(𝑛)=𝑥4(𝑁−𝑛)，𝑥5(𝑛)=𝑥5(𝑁−𝑛)。即𝑥4(𝑛)为𝑥7(𝑛)的共轭对称分量，而𝑥5(𝑛)是𝑥7(𝑛)的共轭反对称分量。根据DFT的共轭对称性，应有以下结果：𝑥7(𝑘)=𝐷𝐹𝑇[𝑥7(𝑛)]16点=Re[𝑋7(𝑘)]+𝑗Im[𝑋7(𝑘)]𝑥7(𝑛)=𝑥4(𝑛)+𝑥5(𝑛)的8点和16点波形及其DFT𝑥4(𝑘)=𝐷𝐹𝑇[𝑥4(𝑛)]16点=Re[𝑋7(𝑘)]𝑥5(𝑘)=𝐷𝐹𝑇[𝑥5(𝑛)]16点=𝑗Im[𝑋7(𝑘)]绘出Re[𝑋7(𝑘)]和𝑗Im[𝑋7(𝑘)]的模。它们正是图中16点的|𝑋4(𝑘)|和|𝑋5(𝑘)|。选8时，①计算并图示𝑥8(𝑛)=[𝑥4(𝑛)+𝑗𝑥5(𝑛)]∗𝑅8(𝑛)和𝑥8(𝑛)=[𝑥4(𝑛)+𝑗𝑥5(𝑛)]∗𝑅16(𝑛)及其DFT。②程序自动计算并绘图验证DFT的共轭对称性的第二种形式：如果𝑥(𝑛)=𝑥𝑟(𝑛)+𝑗𝑥𝑖(𝑛)，𝑋(𝑘)=𝐷𝐹𝑇[𝑥(𝑛)]=𝑋𝑒𝑝(𝑘)+𝑋𝑜𝑝(𝑘)，则𝑋𝑒𝑝(𝑘)=𝐷𝐹𝑇[𝑥𝑟(𝑛)]，𝑋𝑜𝑝(𝑘)=𝐷𝐹𝑇[𝑗𝑥𝑖(𝑛)]。其中𝑋𝑒𝑝(𝑘)=12[𝑋(𝑘)+𝑋∗(𝑁−𝑘)]，𝑋𝑜𝑝(𝑘)=12[𝑋(𝑘)−𝑋∗(𝑁−𝑘)]。𝑥8(𝑛)的8点和16点DFT程序计算结果如下：|𝑋8𝑒(𝑘)|=12|𝑋8(𝑘)+𝑋8∗(𝑁−𝑘)|及𝑥4(𝑛)=𝑥8𝑟(𝑛)=𝐼𝐷𝐹𝑇[𝑋8𝑒(𝑘)]，正好与图中𝑥4(𝑛)的16点|𝑥4(𝑛)|及𝑥4(𝑛)相同。|𝑗𝑋8𝑜(𝑘)|=12|𝑋8(𝑘)−𝑋8∗(𝑁−𝑘)|及jkXIDFTnxnxoi/][885𝑥5(𝑛)=𝑥8𝑖(𝑛)=𝐼𝐷𝐹𝑇[𝑋8𝑒(𝑘)]𝑗⁄，正好与图中16点的|𝑥5(𝑛)|及𝑥5(𝑛)相同。四.思考题（1）当N=8时，𝑥1(𝑛)和𝑥2(𝑛)的幅频特性会相同吗？为什么？N=16呢？（2）对于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT进行谱分析？答：（1）当N=8时，𝑥1(𝑛)和𝑥2(𝑛)的幅频特性会相同.当N=16时，𝑥1(𝑛)和𝑥2(𝑛)的幅频特性会不相同。（2）、如果𝑥(𝑛)的周期预先不知道，可截取M点进行DFT，即𝑥𝑀(𝑛)=𝑥(𝑛)𝑅𝑀(𝑛)𝑋𝑀(𝑛)=𝐷𝐹𝑇[𝑥𝑀(𝑛)]0≤𝑘≤𝑀−1再将截取长度扩大1倍，截取𝑥2𝑀(𝑛)=𝑅2𝑀(𝑛)𝑋2𝑀(𝑛)=𝐷𝐹𝑇[𝑥2𝑀(𝑛)]0≤𝑘≤2𝑀−1比较𝑥𝑀(𝑘)和𝑥2𝑀(𝑘)，如果两者的主谱差别满足分析误差要求，则以𝑥𝑀(𝑘)或𝑥2𝑀(𝑘)近似表示𝑥(𝑛)的频谱，否则，继续将截取长度加倍，直至前后两次分析所得主谱频率差别满足误差要求。设最后截取长度为𝑖𝑀，则𝑥𝑖𝑀(𝑘0)表示𝜔=2𝜋𝑖𝑀𝑘0点的谱线强度。通过实验，我知道了用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D和分析误差。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2л／N≤D。可以根据此式选择FFT的变换区间N。误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N较大时，离散谱的包络才能逼近于连续谱，因此N要适当选择大一些。周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。如果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。对模拟信号进行频谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。