对等温模型下的大气分子玻尔兹曼高度分布的修正

对等温模型下的大气分子玻尔兹曼高度分布的修正张晓森肖玉林（安徽理工大学理学院安徽淮南232001）摘要：在考虑了大气对流层中温度随高度变化的条件下，用理想气体绝热过程的模型结合变量代换的方法推导了一个气体分子数密度与高度变化的关系式，该式比等温模型下的波尔兹曼高度分布更加符合实际情况。关键词：对流层；大气；绝热过程；分子数1.玻尔兹曼高度分布的一般推导在外力场中的理想气体处于平衡态时，分子的位置坐标在区间dxxx~、dyyy~、dzzz~内，同时速度介于区间xxxdvvv~、yyydvvv~、zzzdvvv~中的分子数为dxdydzdvdvdvekTmndNzyxkTpk)(230)2(式中分子动能和势能之和pk是分子的总能量，0n是势能p为零处得分子数密度。上式给出了平衡态下气体分子按能量的分布规律，称为玻尔兹曼能量分布律[1]。玻尔兹曼能量分布律是一个普遍的规律，它对于任何物质微粒（气体、液体、固体的原子、分子和电子、布朗粒子等）在任何保守力场（重力场、静电场）中运动的情形都适用。例如重力场中，粒子于低势能处（地面附近）聚集；原子结构中，电子总是优先占据低能级等等，这些都是玻尔兹曼分布律的典型例证[2]。根据玻尔兹曼能量分布律可以推出理想气体分子在重力场中按高度的分布。此时只需分析分子数按势能的分布，即认为所考虑的分子可以具有各种速度，因此可根据玻尔兹曼能量分布律先求出在dxxx~、dyyy~、dzzz~空间体积元dV中具有各种速度的总分子数zyxdN,,是：dxdydzendxdydzedvdvdvekTmndNkTkTzyxkTzyxppk0230,,)()2(令dxdydzdNdVdNnzyxzyx,,,,表示在空间坐标),,(zyx附近单位体积的分子数，代入上式得kTpenn0以0h处为重力势能零点，则在高度h处单位体积的分子数为：kTmghenn00n和n分别是在高度0h和hh处单位体积的分子数。（1）式就是重力场中气体分子数密度按高度分布的规律[3]。2.等温模型下玻尔兹曼高度分布的推导及其不足气体分子数密度按高度分布的规律是玻尔兹曼分布律的一种常用形式，根据玻尔兹曼分布规律,在重力场中,气体分子数密度n随高度增大而按指数规律减小，分子质量越大，n减小得越迅速，此外，气体温度越高，n减小得越慢。分子数密度按高度分布为kTmghenn0(1)其中m是分子质量，g是重力加速度，1231038.1KJk是波尔兹曼常量，0n是在高度0h处单位体积的分子数。(1)式可以用来计算大气分子数随高度变化的规律[4]。为了显示等温模型的局限性，玻尔兹曼空气分子数密度在重力场中随高度变化的另一种推导过程是：设想在距地面高度为h处有一薄层空气，其底面积为S，厚度为dh，上下两面的气体压强分别为dpp和p，根据力学平衡条件pSnmgSdhSdpp)(化简后得nmgdhdp或nmgdhdp(2)按nkTp，热平衡气体是等温的，T不随高度h改变，故上式可写为kTnmgdhdn，或dhkTmgndn(3)令高度0h处的分子数密度0nn，对(3)式积分后得：kTmghnn0ln(4)为简单计，假设大气是等温的（理想条件），T不随高度变化，上式积分后得：kTmghenn0上式就是恒温条件下，大气分子数密度在重力场中按高度分布的规律，这种推导突出了(1)关系式的应用局限性，即它只有在大气温度不随高度变化时才适用。3.大气温度的变化率和等温模型的修正实际上玻尔兹曼高度分布在应用于地面大气时计算所得到的结果只是近似的结果，因为大气的温度上下不均匀，并不是恒温状态。在地球表面大气层中近地面的对流层内，大气主要成分是干洁空气、水汽和固体杂质，地面是对流层大气的直接热源，离地面越高获得的热量越少，大气温度是随高度增加而降低的[5]。由于地球表面不同高度处气体分布不均匀，所以在对流层内低处与高处之间空气不断发生对流。气压随高度增加而降低,因此空气上升时体积膨胀,对外做功。只要地面被太阳晒热，其上空气会逐渐受热而密度减小，就缓慢向上流动。流动时因为周围空气导热性差，所以上升气流可以认为是经历绝热过程，这种大气温度随高度增加而下降的绝热过程模型应该更符合实际。通过分析厚度为dh的一层空气的平衡条件，由(2)式得到kTmgpnmgdhdp考虑温度随高度的变化，引入温度变量，上式可变为kTmgpdhdTdTdp(5)在气体绝热模型的条件下，对绝热方程Tp1求导，可得TpdTdp1联立(5)式得:RgMkmgdhdTmol11(6)设高度0h处0TT令一个常数RgMamol1因为对流层大气中主要成分是氮气和氧气，它们都是双原子分子，所以对空气取57，空气的摩尔质量131029molkgMmol，可得1138.9108.9kmKmKdhdTa对上式积分得到地球表面对流层内大气温度随高度的变化关系是:ahTT0(7)把(7)式代入(4)式即)(ln00ahTkmghnn两边积分得出考虑温度变化后的大气分子数的高度分布应该修正为kamgTahnn)1(00(8)玻尔兹曼高度分布(1)式只有在大气温度不随高度变化时才适用，这一点也正是本文推导出的关系式与玻尔兹曼高度分布的不同之处，实际上大气温度是随高度变化的,所以用本文的关系式(8)来计算大气对流层里不同高度处的分子数会更接近实际情况。参考文献：［1］张三慧。大学物理学[M]。北京：清华大学出版社，2000，121。［2］赵凯华等。新概念物理教程热学[M]。北京：高等教育出版社，1998，79-80。［3］李椿等。热学[M]。北京：高等教育出版社，1979，93。［4］祝之光。物理学[M]。北京：高等教育出版社，1988，126。［5］柳福提。大气温度随高度变化率的推导［J］。河南科技学院学报(自然科学版)，2007(6)，32-33。TherevisionofBoltzmanndensitydistributionVaryingwithconstanttemperatureofheightZhangxiaosenXiaoyulin（SchoolofScience,AnhuiUniversityofScienceandTechnology,Huainan232001）Abstract:Byusingtheidealgasmodelintheadiabaticprocess,thispaperanalysestherelationofdensitydistributionandatmospherictemperaturewiththeincreasingofheightinthetroposphere.ThenthecalculatedresultsshouldaccordwiththefactmuchmoreKeywords:troposphere;atmosphere;adiabaticprocess;moleculefate作者简介(张晓森(1978-)，男，江苏徐州人，讲师，硕士，安徽理工大学理学院物理系)手机号码：[phone]联系地址：安徽理工大学理学院物理系张晓森邮箱：[e-mail]