差分法(点差法)在圆锥曲线中的应用

差分法（点差法）在圆锥曲线中的应用圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，用差分法求解，具有构思精巧，简便易行的优点，现举例说明如下：（一）在椭圆中的应用：2222112222121212121212121211221111022,,mxnymxnymxnymxxxxnyyyyyyxxyyABABxxABAxyBxy设是椭圆上不重合的两点，则，，两式相减得是直线的斜率，，是线段的中点坐标，所以1式可以解决与椭圆弦的斜率及中点有关的问题，此法称为代点作差法，简称，点差法。2211625400xy例：求以椭圆内一点P3，1为中点的弦AB所在的直线方程。112222221122221212121212121212,,AB1625400162540016254002504862AxyBxyxyxyxyxxxxyyyyyyxxyyxx解：设弦AB的两个端点的坐标分别为，、两点在椭圆上，则，两式相减得16由题知，，12AB12,2548:3,48251690.25yylxxyxx即（二）在双曲线中的应用：在处理有关弦的问题时,也可以应用”点差法”。但特别需要注意的是椭圆是封闭型曲线，而双曲线是开放型曲线，求解后应检查其存在性，否则容易产生增根。2211222:1,26613,0,5.yxAxyBCxyFAC例在双曲线的一支上有不同的三点，，，12与焦点的距离成等差数列证明线段的垂直平分线经过某一点,并求出该点坐标.分析：与椭圆的焦半径相同，双曲线一支上的三点与一个焦点形成的焦半径成等差数列的充要条件是这三个点的横坐标（或纵坐标）成AP。另外，题目中涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来求解。1222221122121212AC121212121212261213121213,13121213,12k1313y22136,2yyyxyxxxyyxxxxyyyyxxxxxyxxx解:依题意有，又则，13故AC的中垂线方程为，13即由方.25程知其必经过定点0,22211212123:1.212,1,.21,1,,,yxAlPPPBmm例给定双曲线过点的直线与所给双曲线交于两点求线段的中点的轨迹方程过点能否作出直线使与所给双曲线于两点QQ且B是线段QQ的中点?并说明理由.1112222212121212121212121212121212,,,,1,1,2222221,,,.,22PxyPxyPxyyyxxxxxxyyyyyyxxxxyyyyxxyyyPPPAxxxxyy解：1设，,中点则两式相减得而，，四点共线由此得轨迹方程221,240.2xyxyx即1332443434343434343434222,,,,12222,121,21.2112mxyxyxxxxyyyyyyxxyyxxmyxyxyxyxm假设直线存在Q,Q仿得，，即直线的斜率为2,方程为即由于方程组无解所以满足条件的直线不存在.（三）在抛物线中的应用：和椭圆，双曲线一样，涉及到有关弦的中点和斜率问题时，也可以应用“点差法”。24:43(0),yxykxk例若抛物线上存在关于直线对称的两点求k的取值范围.1122221122001212121201212000000:,,30,4,4,,.4,4421.22333,2ABAxyBxyykxkyxyxABpxyyyyyxxyykykxxyyyykyykxxkkp解设，是抛物线上关于直线对称的两点则设的中点又点在抛物线内部,2232323342,200,230,130,1,0,230,130,1,-10.kkkkkkkkkkkkkkkkkk-2k即当则即无解.当则即故点评：本题的难点在于通过点p在抛物线内部建立关于k的不等式，这个显然的几何条件往往被忽视。（四）练习：1：抛物线y2=4x经过焦点的弦的中点轨迹方程是（）22221211212AyxByxCyxDyx、、、、2214.yAB2x：倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则线段AB4中点的轨迹方程是2214,2,369()112232xyABCD3:若椭圆的弦被点平分则此弦所在直线的斜率为、、、、22424()30322363xyABCD：已知椭圆，则以1,1为中点的弦的长度为3、、、、211221212121212122,,,421221.1ABABFMxyxyyyyyxxyyykkkxxyyyxyyxyx解1：中点Mx,yA，B是弦端点.作差得4又11221212121222452:405,,14044451.445xyxxyxyyyxxxxyxxyyyxxyyx设A，B,两式作差得将代入11222222121212121212,,424144222.xyxyxxyyyyxxkxxyy3：设弦端点A，B两式作差得1122121212122221212221212,,12211,213,22243-6101,23141130144.433xyxyyyxxkxxyyxyxxyxxxxxxABkxxxx4：设弦端点A，B此弦的直线方程为y-1=即代入得