平方差公式的运用

浅谈平方差公式在初中数学中的运用提要：平方差公式22))((bababa是初中阶段的一个重要的公式，应用也十分广泛，必须引起教师的高度重视。关键词：平方差整式乘法因式分解无理数平方差公式在初中数学上占据了重要位置，在近几年的中考和期末测试中经常出现，所以要求学生掌握并运用好平方差公式。一、平方差公式乘法中的运用平方差公式：22))((bababa，其形式是：两项之和与这两项的差的乘积等于这个项的平方差，其中的a、b可以是具体数，也可以是单项式、多项式。可用公式的都有两个共同特点：前一个因式与后一个因式中各有一项是相同，剩下的两项是互为相反数。有些形式上不符合公式，但只要符合这个特点，可以根据公式的特点，应用加法加换律、结合律进行灵活变形，或者用提负号的方法把题转化成平方差公式。（一）、整式乘法中的运用例1.)32)(32(xx分析：本题是整式乘法中的最简单的，是这两个项的和与这两个项的差的积等于这两项的平方差，可直接用公式进行计算。943)2()32)(32(222xxxx例2．)23)(23(baba分析：本类题是属于两个多项项式的乘积，这类题形首先要观察是否符合公式特点，看出前一个因式中与后一个因式中都是-2b，剩下的一个是-3a，一个3a，它们互为相反数，可以用公式。计算本题有两种方法（1）是利用加法加换律调整位置，把它转化为一般式；（2）提一个负号转化成一般式，再用公式计算。解法1、加法加换律进行调整其位置解法2、提取负号)23)(23(baba)23)(23(baba)32(32abab)23)(23(baba=2232ab)49(22ba2294ab2249ba例3、zyxzyx22分析：本类题每一个因式中都是三个或三个以上的项，所以先利用加法结合律，把一个因式中的多项式转化成两个式子的和差形式，再观察是否符合公式特点。前一个因式中的zyx2结合成])2[(zyx，后一个因式zyx2结合成])2[(zyx，)2(yx与)2(yx为相等，z与-z互为相反数，可用公式进行计算。zyxzyx22zyxzyx22zyxzyx22222zyx22244zyxyx小结：注意平方差进行乘法运算时，经常出现的的误区有（1）对因式中各项的系数，符号要仔细观察、比较，不能误用公式，如)32)(23(baba、如)23)(23(baba，此类题目不能运用平方差公式；（2）公式中的字母是多种形式的，所以当这个字母表示一个负数、或分数、或单项式与多项式，应加上括号，避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。二、因式分解中的应用因式分解我们一般采用的方法是：一提（提取公因式）、二套（套用公式）、三分组，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中22))((bababa的逆用：))((22bababa，其题可以是二项式，也可以是多项式。能用公式的共同特点：题目中都可以转化成一项或一式的平方减去一项或一式的平方。如有这种形式的都能用平方差公式进行了分解因式。分解因式时，要求掌握好逆用幂的运算法则，弄清楚多项式中可转化哪几个数组成平方差，清楚题形中的a、b各代表什么式。例1、分解因式22yx分析：本题与公式是一样的，可直接套用公式。))((22yxyxyx例2、分解因式yyx164分析：此题先提公因式y，所剩下的164x转化成2224)(x，其中a为2x、b为4，本题用平方差公式到各因式不能再分解为止。)2)(2)(4()4)(4()16(1622244xxxyxxyxyyyx例3、因式分解9222yxyx分析：本题我们先要进行分组成能转化成平方差公式，前三项分在一组里，最后一项为一组，把222yxyx转化成2)(yx，从而形成223)(yx)3)(3(3)(922222yxyxyxyxyx小结：因式分解中的平方差公式的运用是必要的，有些题目只有用平方差公式才能分解因式，它的作用更大于整式乘法中的应用，整式乘法中如果不会用公式，也可以用一般的多项式乘以多项式的方法来计算，只是复杂而已。分解因式中时常的错误有：（1）各项没有转化为平方就用公式，如)4)(4(422yxyxyx；（2）误用公式，如))((22yxyxyx三、平方差公式在一些特殊题中的运用（一）、简便运算中的运用如某两数的乘积，如果这两个数与另一个数都要都相差相同的一个数时，就可以把这两数的乘积转化成另外一个数与相同数的和与差的乘积，从而做到转化成平方差公式。例1、98×102分析：98与102都与100相差2，98转化成100-2，102转化成100+2。98×102=（100-2）（100+2）=222100=9996例2、2572562552563分析：本题的技巧在于三个连续的整数，我们可以将第一个数转化成中间数减1，第三个数可以转化中间数加1。256256256256)1256(25625612561256256256257256255256)3(3322333例3、22222212979899100分析：本题中每两组都要可以转化成平方差公式，计算后会发现它是一个等差数列。50502)1100(10012979899100)12)(12()9798)(9798()99100)(99100(12979899100222222小结：有关复杂的数字计算中，如能抓住数字特点，巧用平方差公式，可简化运算过程，提高运算效率，培养良好的数学素养。数字中的平方差公式的运算会出现错识有：98×102=（100-2）（100+2）=222982100（二）、二次根式计算及分母有理化中的运用用平方差公式进行二次根式计算及分母有理化，是初三二次根式计算和化简中的重点。它的方法在于分子分母同时乘以一个式子，使其分母转化成一平方差公式，从而做到分母去根号（有理化）的效果。例1：)26)(26(分析：本类题是二次根式的计算，是这两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，用公式6为a，2为b进行计算。426)2()6()26)(26(22例2化简254分析：观察此题分母中含有二次根式，要进行有理化，分母本身是25，分子分母同时乘以25，使分母转化成平方差公式。32454)2()5(2454)25)(25()25(425422小结：这种类型题分母有理化中要抓住分母的特点，想办法使其转化为平方差公式，做题时切记，如果是单用完全平方去分母是起不到有理化的效果，所以要用平方差公式进行有理化。例如：2102516)25(425422除了初中价段的应用外，以后的数学学科都有其有关的知识，可见平方差公式在数学领域中应用及其广泛，值得一提的是这个公式从初中到大学都有不同程度的应用，教学上初中至关重要，因此我们应该从不同的角度去掌握并运用平方差公式。浅谈平方差公式在初中数学中的运用玉龙县鲁甸中学和祺剑提要：平方差公式22))((bababa是初中阶段的一个重要的公式，应用也十分广泛，必须引起教师的高度重视。关键词：平方差整式乘法因式分解无理数平方差公式在初中数学上占据了重要位置，在近几年的中考和期末测试中经常出现，所以要求学生掌握并运用好平方差公式。一、平方差公式乘法中的运用平方差公式：22))((bababa，其形式是：两项之和与这两项的差的乘积等于这个项的平方差，其中的a、b可以是具体数，也可以是单项式、多项式。可用公式的都有两个共同特点：前一个因式与后一个因式中各有一项是相同，剩下的两项是互为相反数。有些形式上不符合公式，但只要符合这个特点，可以根据公式的特点，应用加法加换律、结合律进行灵活变形，或者用提负号的方法把题转化成平方差公式。（一）、整式乘法中的运用例1.)32)(32(xx分析：本题是整式乘法中的最简单的，是这两个项的和与这两个项的差的积等于这两项的平方差，可直接用公式进行计算。943)2()32)(32(222xxxx例2．)23)(23(baba分析：本类题是属于两个多项项式的乘积，这类题形首先要观察是否符合公式特点，看出前一个因式中与后一个因式中都是-2b，剩下的一个是-3a，一个3a，它们互为相反数，可以用公式。计算本题有两种方法（1）是利用加法加换律调整位置，把它转化为一般式；（2）提一个负号转化成一般式，再用公式计算。解法1、加法加换律进行调整其位置解法2、提取负号)23)(23(baba)23)(23(baba)32(32abab)23)(23(baba=2232ab)49(22ba2294ab2249ba例3、zyxzyx22分析：本类题每一个因式中都是三个或三个以上的项，所以先利用加法结合律，把一个因式中的多项式转化成两个式子的和差形式，再观察是否符合公式特点。前一个因式中的zyx2结合成])2[(zyx，后一个因式zyx2结合成])2[(zyx，)2(yx与)2(yx为相等，z与-z互为相反数，可用公式进行计算。zyxzyx22zyxzyx22zyxzyx22222zyx22244zyxyx小结：注意平方差进行乘法运算时，经常出现的的误区有（1）对因式中各项的系数，符号要仔细观察、比较，不能误用公式，如)32)(23(baba、如)23)(23(baba，此类题目不能运用平方差公式；（2）公式中的字母是多种形式的，所以当这个字母表示一个负数、或分数、或单项式与多项式，应加上括号，避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。二、因式分解中的应用因式分解我们一般采用的方法是：一提（提取公因式）、二套（套用公式）、三分组，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中22))((bababa的逆用：))((22bababa，其题可以是二项式，也可以是多项式。能用公式的共同特点：题目中都可以转化成一项或一式的平方减去一项或一式的平方。如有这种形式的都能用平方差公式进行了分解因式。分解因式时，要求掌握好逆用幂的运算法则，弄清楚多项式中可转化哪几个数组成平方差，清楚题形中的a、b各代表什么式。例1、分解因式22yx分析：本题与公式是一样的，可直接套用公式。))((22yxyxyx例2、分解因式yyx164分析：此题先提公因式y，所剩下的164x转化成2224)(x，其中a为2x、b为4，本题用平方差公式到各因式不能再分解为止。)2)(2)(4()4)(4()16(1622244xxxyxxyxyyyx例3、因式分解9222yxyx分析：本题我们先要进行分组成能转化成平方差公式，前三项分在一组里，最后一项为一组，把222yxyx转化成2)(yx，从而形成223)(yx)3)(3(3)(922222yxyxyxyxyx小结：因式分解中的平方差公式的运用是必要的，有些题目只有用平方差公式才能分解因式，它的作用更大于整式乘法中的应用，整式乘法中如果不会用公式，也可以用一般的多项式乘以多项式的方法来计算，只是复杂而已。分解因式中时常的错误有：（1）各项没有转化为平方就用公式，如)4)(4(422yxyxyx；（2）误用公式，如))((22yxyxyx三、平方差公式在一些特殊题中的运用（一）、简便运算中的运用如某两数的乘积，如果这两个数与另一个数都要都相差相同的一个数