大学定积分期末复习经典题库.

一、求积分的基本方法机动目录上页下页返回结束二、多元函数微分法微积分II总复习三、二重积分的计算四、级数的敛散性与求和五、求解微分方程2010级20110607一、求不定积分的基本方法机动目录上页下页返回结束二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法第六章一、求不定积分的基本方法1.直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法第一类换元法第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:))(tx机动目录上页下页返回结束3.分部积分法vuxvud使用原则:1)由v易求出v;2)比xvud好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为u,排后者取为.v计算格式:列表计算xvud机动目录上页下页返回结束xvund)1(xvuvunnd)()()1()(nnvuvuxvund)1()2()1()(nnnvuvuvuxvunnd)1()1(1多次分部积分的规律机动目录上页下页返回结束)2()1()(nnnvuvuvuxvund)2(快速计算表格:)(ku)1(knvuuu)(nu)1(nv)(nv)1(nvvn)1()1(nuv1)1(n特别:当u为n次多项式时,,0)1(nu计算大为简便.例1.求解:原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(32机动目录上页下页返回结束例2.求解:21]5)1ln([2xx原式]5)1ln([d2xx21xxxxxd)1(212221dxx325)1ln(2xxC23机动目录上页下页返回结束分析:]5)1ln([d2xx例3.求解:原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan分部积分抵消机动目录上页下页返回结束例4.设解:令,tyx求积分即txy,123ttx,12tty而ttttxd)1()3(d22221原式ttttd)1()3(2222123tt132ttCyx1)(ln221机动目录上页下页返回结束例5.求解:xearctan原式xedxxeearctanxexeexxd12xxeearctanxeeexxxd1)1(222xxeearctanxCex)1(ln221机动目录上页下页返回结束例6.求解:取23xx132xx660xe2xe221xe241xe281xe2161xe2原式)2(321xx)13(241xx681Cxxxex)7264(232816161CxxaxaexPxkndcossin)(机动目录上页下页返回结束说明:此法特别适用于如下类型的积分:例7.设证:证明递推公式:)2(12tansec1122nInnxxnInnnxInn2secxn2secxxxnntansecsec)2(3xxntansec2xxxnnd)1(secsec)2(22xxntansec2nIn)2(2)2(nInxxdsec2机动目录上页下页返回结束例8.求解:设1)(xxF1x,1x1x,1x则1,1221xCxx1,2221xCxx因连续,得21211121CC221121CC记作C得1,21221xCxx1,21221xCxx,)1(221Cx,)1(221Cx利用机动目录上页下页返回结束例9.设解:为的原函数,且求由题设,)()(xfxF则故即,因此故又机动目录上页下页返回结束二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换机动目录上页下页返回结束2.需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.机动目录上页下页返回结束例如,,)10(dsin122kxxk例10求.1d632xxxeeex解:令,6xet则,ln6txtxtdd6原式ttttt)1(d623tttt)1)(1(d62tdtln61ln3t)1ln(232tCtarctan3机动目录上页下页返回结束例11求解:令xxsincos3xBAxBAsin)(cos)(比较同类项系数3BA1BA,故2,1BA∴原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln说明:此技巧适用于形为xxdxcxbxadsincossincos的积分.)sin(cos)sin(cosxxBxxAxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcBxdxcA机动目录上页下页返回结束例12.解：xxbxaxIdsincossin1求因为.dsincoscos2xxbxaxI及xxbxaxbxadsincossincosxxbxaxaxbdsincossincos机动目录上页下页返回结束例13.求不定积分解:原式)1)(2(12uuuA21uB1uC机动目录上页下页返回结束一、与定积分概念有关的问题的解法机动目录上页下页返回结束二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题第七章一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题机动目录上页下页返回结束例1求.d1lim10xeexxxnn解:因为时,xxneex10所以xeexxxnd1100xxnd1011n利用夹逼准则得0d1lim10xeexxxnn,nx例2估计下列积分值解:因为41,412x∴xd2110xxd41102即216机动目录上页下页返回结束例3证明证:令则令得故机动目录上页下页返回结束例4设在上是单调递减的连续函数，试证1,0q都有不等式证明：显然1,0qq时结论成立.(用积分中值定理))(1fq)()1(2fq10q当时,故所给不等式成立.机动目录上页下页返回结束明对于任何例5解：且由方程确定y是x的函数,求方程两端对x求导,得令x=1,得再对y求导,得,3,1Cy得令机动目录上页下页返回结束故例6求可微函数f(x)使满足解:等式两边对x求导,得)()(2xfxfxxxfcos2sin)(不妨设f(x)≠0,则xxfxfd)()(xxxdcos2sin21Cx)cos2ln(21机动目录上页下页返回结束注意f(0)=0,得3ln21C3ln21)cos2ln(21)(xxf机动目录上页下页返回结束Cxxf)cos2ln(21)(例7求多项式f(x)使它满足方程解:令,txu则10d)(ttxfxxuuf01d)(代入原方程得xuuf0d)(xttfx0d)1(242xx两边求导:)(xfxttf0d)1()1(xfxxx443可见f(x)应为二次多项式,设代入①式比较同次幂系数,得故①机动目录上页下页返回结束再求导:二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:下列作法是否正确?机动目录上页下页返回结束例8求解:令,sintex则原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26]coscotcscln[ttt6223)32(ln机动目录上页下页返回结束例9求解:xxxId)cos(sin202xxxdcossin20xxxd)sin(cos40xxxd)cos(sin24]cos[sinxx04]sincos[xx42)12(2机动目录上页下页返回结束2yox4xsinxcostttcbcadcos99例10选择一个常数c,使解:令,cxt则因为被积函数为奇函数,故选择c使)(cbca即2bac可使原式为0.机动目录上页下页返回结束例11设解:xxfxd)()1(102013)()1(31xfxxxfxd)()1(31103xexxxd)1(31102322101)1(2)1d()1(612xexx))1((2xu令10d6ueueu01)1(6ueue)2(61e机动目录上页下页返回结束例12若解:令试证:xxfd)(sin20,xt则ttftd)(sin)(0ttfd)(sin0ttftd)(sin0xxfd)(sin20机动目录上页下页返回结束因为xxfd)(sin20对右端第二个积分令xtxxfd)(sin220综上所述xxfd)(sin20机动目录上页下页返回结束例13证明恒等式证:令则因此,)0()(2xCxf又4故所证等式成立.机动目录上页下页返回结束例14试证使分析:要证即xaxxgd)(xaxxfd)(故作辅助函数机动目录上页下页返回结束至少存在一点证明:令baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(在上连续,在至少使即0d)()(d)()(babaxxgfxxfg因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.机动目录上页下页返回结束故由罗尔定理知,存在一点思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:xattfxFd)()(xattgxGd)()(提示:设辅助函数例15目录上页下页返回结束例15设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且.0)(xf:,)2(lim证明存在若axaxfax(1)在(a,b)内f(x)0;(2)在(a,b)内存在点,使)(2d)(22fxxfabba(3)在(a,b)内存在与相异的点,使baxxfaabfd)(2))((22(03考研)机动目录上页下页返回结束证:(1),)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由f(x)在[a,b]上连续,知f(a)=0.，又0)(xf所以f(x)在(a,b)内单调增,因此),(,0)()(baxafxf(2)设)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa,0)()(xfxg则)(),(xgxF故满足柯西中值定理条件,于是存在使),,(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxattfxd)()(2机动目录上页下页返回结束即)(2d)(22fttfabba(3)因0)()(ff)()(aff在[a,]上用拉格朗日中值定理),(),()(aaf代入(2)中结论得))((2d)(22afttfabba因此得bax