大学数学---初等数论.

大学数学初等数论线性代数射影几何概率统计初等数论赵争Email:[e-mail]序言数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（ElementaryNumberTheory）。初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。“数学是科学之王，数论是数学之王”。-----高斯欧几里德高斯费马欧拉拉格朗日毕达格拉斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。我将会介绍数论中最基本的概念和理论，希望大家能对这门学问产生兴趣，并且对中小学时代学习过的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等，有较深入的了解。第一章整数的整除性§1.1整除的概念一、基本概念1、自然数、整数2、正整数、负整数3、奇数、偶数一个性质：整数+整数=整数整数-整数=整数整数*整数=整数二、整除1、定义：设a，b是整数，b≠0。如果存在一个整数q使得等式：a=bq成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除a。2、整除的性质（1）如果b∣a，c∣b，则c∣a.（2）如果b∣a，则cb∣ca.（3）如果c∣a，则对任何整数d，c∣da.（4）如果c∣a，c∣b，则对任意整数m，n，有c∣ma+nb.（5）如果a∣b，b∣a，则a=±b.3、质数、合数质数（素数）合数质因数分解质因数算术基本定理4、带余除法定理：设a，b是两个整数，其中b＞0，则存在两个唯一的整数q及r，使得a=bq+r，0≤r＜b成立.我们称r是b除a的余数。可以看出：b整除a的充要条件是r=0。§1.2最大公因数和辗转相除法一、最大公因数1、定义设a1，a2，…，an是n个不全为零的整数，若整数d是它们之中每一个的因数，那么d就叫做a1，a2，…，an的一个公因数。整数的公因数中最大的一个叫做它们的最大公因数，记作（a1，a2，…，an）。2、互质设a1，a2，…，an是n个不全为零的整数，若（a1，a2，…，an）=1，则称a1，a2，…，an是互质的。注：三个互质比一定两两互质。比如（3，4，6）=1，但（3，6）=3，（4，6）=2.3、最大公因数的性质（1）当b∣a时，（a，b）=b.（2）a，b的一切公因数都是（a，b）的因数.（3）若a，b是正整数，m是任一正整数，则有（am，bm）=（a，b）m.（4）若（a，b）=1，c为任一正整数，则有（ac，b）=（c，b）（5）若（a，b）=1，b∣ac，则有b∣c.（6）若a，b，c是任意三个正整数，则（a，b）=d的充分必要条件是：1),(dbda4、辗转相除法1、定理：设ba,是任意两个正整数，且a＞b，且有,rbqa0＜r＜b，其中q，r都是正整数，则有),(),(rbba2、辗转相除法定理：若ba,是任意两个正整数，且a＞b，由带余除法，有下列等式,rbqa0＜r＜b，,11rrqb0＜1r＜r，,221rqrr0＜2r＜1r，……,12nnnnrqrr0＜nr＜1nr，,111nnnnrqrr01nr,则有nrba),(.一个推论若a，b是正整数，且（a，b）=d，则必存在整数m和n，使得d=ma+nb注：证明可由带余除法逆向代入证得。例1：求（735000，238948）.解：因为735000=238948×3+18156，238948=18156×13+292018156=2920×6+6362920=636×4+376636=376×1+260376=260×1+116260=116×2+28116=28×4+428=4×7所以（735000，238948）=4.例2：求（2605，-5125）.解：因为5125=2605×1+2520，2605=2520×1+852520=85×29+5585=55×1+3055=30×1+2530=25×1+525=5×5所以（2605，-5125）=5.例3：求（2605，3245，7250）.解：先求2065和3245的最大公因数。因为3245=2605×1+1180，2605=1180×1+8851180=885×1+295885=295×3所以（2605，3245）=295.再求295与7250的最大公因数。7250=295×24+170，295=170×1+125170=125×1+45125=45×2+3545=35×1+1035=10×3+510=5×2所以（2605，3245，7250）=（295，7250）=5.练习求（125，610）.求（51306，1224）.求（538，244，555）.§1.3最小公倍数一、定义设naaaa,...,,,321是n个不全为零的整数，若整数m是它们之中每一个的倍数，那么m就叫做naaaa,...,,,321的一个公倍数。整数naaaa,...,,,321的公倍数中最小的一个叫做它们的最小公倍数，记作naaaa,...,,,321.二、最小公倍数的性质1、定理：若ba,是任意两个正整数，则有：（1）ba,的所有的公倍数都是ba,的倍数.（2）baabba,,，特别地，若,1,ba则abba,.定理：设naaaa,...,,,321是n个不全为零的正整数，且,,221paa,,332pap,,443pap…，nnnpap,1，则有nnpaaa,...,,21例1：求[3468,24871].解：由辗转相除法得：（3468，24871）=17.所以[3468,24871]==5073684.)24871,3468(248713468例2：求[128，234，524].解：由辗转相除法得：（128,234）=2所以：[128.234]=149762234128.同理可得：[14976,524]=1961856,于是：[128,234,524]=1961856.习题1、求[21，35].2、求[123，321].3、求[125，725，1125，2015].§1.4整数可除性的检验一、整数的表示1、十进制的整数的意义：各位数字的加权和。2、一般表示：例如：01231071081091011987,10...1010...0111011aaaaaaaaNnnnnnn其中1,...,2,1,90,91niaain.进位制进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。进位制常见的进位制：二进制广泛用于计算机三进制用于军队编制十进制最常用十二进制时辰、月份、一打物品十六进制广泛用于计算机六十进制秒、分,角度二、可除性判别方法判别方法1：（整数被2整除）如果一个整数的末尾数字能被2整除，则该数能被2整除。即：若2∣a0，，则2∣N.判别方法2：（整数被5整除）如果一个整数的末尾数字能被5整除，则该数能被5整除。即：若5∣a0，，则5∣N.判别方法3：（整数被3整除）如果一个整数的各位数字之和能被3整除，则该数能被3整除。即：若3∣an+an-1+…a1+a0，，则3∣N.判别方法4：（整数被9整除）如果一个整数的各位数字之和能被9整除，则该数能被9整除。即：若9∣an+an-1+…a1+a0，，则9∣N.二、可除性判别方法判别方法5：（整数被11整除）如果一个整数将其最后三位数字去掉后得到的位数少3位的新整数与该整数末三位数字组成的数之差能被11整除，则该整数能11整除.即如果，则11︱N.判别方法6：（整数被13整除）如果一个整数将其最后三位数字去掉后得到的位数少3位的新整数与该整数末三位数字组成的数之差能被11整除，则该整数能11整除.即如果，则13︱N.01231...11aaaaaann01231...13aaaaaann第二章不定方程中国古代数学家张丘建曾经解答了下面的题目：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡．问鸡翁、母、雏各几何？”设用x，y，z分别代表鸡翁、鸡母，鸡雏的数目，就得到下面的方程：1531003100xyzxyz消去z，再化简，即得74100xy形如这样的方程，称为二元一次不定方程。要解决这个问题，就是要求出上述方程的非负整数解．§2.1二元一次不定方程一、齐次方程二元一次不定方程cbyax（其中cba,,都是整数）的齐次方程是0byax.不妨设,1),(ba否则可以两边同时除以),(ba，于是可以解得：abyx，当y能被a整除时，方程有解；反之，方程有解则y能被a整除，即y=at.于是方程的整数解为：atybtx（ｔ为任意数）二、非齐次方程定理：设二元一次不定方程cbyax有一整数解,,00yyxx且,,,),(11dbbdaadba则方程的通解可以表示为：tayytbxx1010（ｔ为任意整数）例1解：观察得不定方程的一个特解为：,3,2yx且,4,7,1),(11bbaaba则方程的通解可以表示为：tytx7342（ｔ为任意整数）求二元一次不定方程247yx整数解。三、有整数解的充要条件定理：设二元一次不定方程cbyax（1）有一整数解的充分必要条件为：cba),(.两个推论推论1：如果（a，b）=1，那么方程（1）有整数解.推论2：如果（a，b）∣c，那么方程（1）没有整数解.例2：判断下列不定方程有没有整数解。.2162)4(;7123)3(;20124)2(;395)1(xyyxyxyx四、整数分离法解不定方程步骤：1、把不定方程变形，用系数绝对值较大的未知数表示系数绝对值较小的未知数；2、把1中的代数式分离成一个整式和一个分式之和；3、通过观察和其它方法使分式值为整数从而筛选得到不定方程的整数解。例3解：由（7，-4）=1知不定方程有整数解。原式变形为：427xy，分离出整式得：423xxy，要求方程的整数解就要求423x为整数，观察得1423x时，2x，3y.所以方程的通解为：tytx7342（ｔ为任意整数）求二元一次不定方程247yx整数解。例4:解下列不定方程213197)1(yx;10047)2(yx;;11516146)3(yx.217105133)4(yx五、不定方程组例1：求不定方程组44324275zyxzyx的整数解与正整数解.解：方程组化为不定方程4yx，解得解为；tytx31，代入原方程组解得方程组的解为：tztytx131（t为任意整数）由条件：010301tztytx得-3＜t＜-1.可得t=-2时，可得原方程的正整数解为：.1,1,3zyx例2：求解不定方程组求3668526263zyxzyx的整数解和正整数解.习题