屈婉玲版离散数学课后习题答案【4】

屈婉玲版离散数学课后习题答案1第十章部分课后习题参考答案4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1）整数集合Z和普通的减法运算。封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元（2）非零整数集合错误!未找到引用源。普通的除法运算。不封闭（3）全体nn实矩阵集合错误!未找到引用源。（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n错误!未找到引用源。2。封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体nn实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n错误!未找到引用源。2。不封闭（5）正实数集合错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。运算，其中错误!未找到引用源。运算定义为：错误!未找到引用源。不封闭因为R1111111（6）n错误!未找到引用源。关于普通的加法和乘法运算。封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律加法单位元是0，无零元；乘法无单位元（1n），零元是0；1n单位元是1（7）A={},,,21naaa错误!未找到引用源。n错误!未找到引用源。运算定义如下：错误!未找到引用源。封闭不满足交换律，满足结合律，（8）S=错误!未找到引用源。关于普通的加法和乘法运算。封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律（9）S={0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律（10）S=错误!未找到引用源。,S关于普通的加法和乘法运算。屈婉玲版离散数学课后习题答案2加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。见上题7．设*为Z错误!未找到引用源。上的二元运算Zyx,，X*Y=min(x，y),即x和y之中较小的数.(1)求4*6，7*3。4,3(2)*在Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？满足交换律，结合律，和幂等律(3)求*运算的单位元，零元及Z中所有可逆元素的逆元。单位元无，零元1,所有元素无逆元8．QQSQ为有理数集，*为S上的二元运算，错误!未找到引用源。a,b,x,y错误!未找到引用源。S有a，b*x，y=ax，ay+b（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？不可交换：x,y*a,b=xa，xb+ya，b*x，y可结合：(a,b*x,y)*c,d=ax，ay+b*c,d=axc，axd+(ay+b)a,b*(x,y*c,d)=a,b*xc,xd+y=axc，a(xd+y)+b(a,b*x,y)*c,d=a,b*(x,y*c,d)不是幂等的（2）*运算是否有单位元，零元？如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。设a,b是单位元，错误!未找到引用源。x,y错误!未找到引用源。S，a,b*x,y=x,y*a,b=x,y则ax,ay+b=xa,xb+y=x,y，解的a,b=1,0，即为单位。屈婉玲版离散数学课后习题答案3设a,b是零元，错误!未找到引用源。x,y错误!未找到引用源。S，a,b*x,y=x,y*a,b=a,b则ax,ay+b=xa,xb+y=a,b，无解。即无零元。错误!未找到引用源。x,y错误!未找到引用源。S，设a,b是它的逆元a,b*x,y=x,y*a,b=1,0ax,ay+b=xa,xb+y=1,0a=1/x,b=-y/x所以当x0时，xyxyx,1,110．令S={a，b}，S上有四个运算：*，错误!未找到引用源。分别有表10.8确定。(a)(b)(c)(d)(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？(a)交换律，结合律，幂等律都满足，零元为a,没有单位元；(b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元bbaa11,(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律ababbabaabba)(,)(bbabba)()(没有单位元,没有零元(d)不满足交换律，满足结合律和幂等律没有单位元,没有零元(2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。见上16．设V=〈N，+，错误!未找到引用源。〉，其中+，错误!未找到引用源。分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？（1）S1=错误!未找到引用源。是屈婉玲版离散数学课后习题答案4（2）S2=错误!未找到引用源。不是加法不封闭（3）S3={-1，0，1}不是，加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案8.设S={0，1，2，3}，为模4乘法，即x,y∈S,xy=(xy)mod4问〈S，〉是否构成群？为什么？解：(1)x,y∈S,xy=(xy)mod4S,是S上的代数运算。(2)x,y,z∈S,设xy=4k+r30r(xy)z=((xy)mod4)z=rz=(rz)mod4=(4kz+rz)mod4=((4k+r)z)mod4=(xyz)mod4同理x(yz)=(xyz)mod4所以，(xy)z=x(yz)，结合律成立。(3)x∈S,(x1)=(1x)=x,，所以1是单位元。(4),33,11110和2没有逆元所以，〈S，〉不构成群9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下：x,y∈Z,xoy=x+y-2问Z关于o运算能否构成群？为什么？解：(1)x,y∈Z,xoy=x+y-2Z,o是Z上的代数运算。(2)x,y,z∈Z,(xoy)oz=(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4同理(xoy)oz=xo(yoz)，结合律成立。(3)设e是单位元，x∈Z,xoe=eox=x,即x+e-2=e+x-2=x,e=2(4)x∈Z,设x的逆元是y,xoy=yox=e,即x+y-2=y+x-2=2,所以，xyx41所以〈Z，o〉构成群屈婉玲版离散数学课后习题答案511.设G=1001,1001,1001,1001，证明G关于矩阵乘法构成一个群．解：(1)x,y∈G,易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。(2)矩阵乘法满足结合律(3)设1001是单位元，(4)每个矩阵的逆元都是自己。所以G关于矩阵乘法构成一个群．14.设G为群，且存在a∈G,使得G={ak∣k∈Z}证明：G是交换群。证明:x,y∈G，设lkayax,，则yxaaaaaaxyklkllklk所以，G是交换群17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。证明:设Ge0也是幂等元，则020ee，即eee020，由消去律知ee018.设G为群，a,b,c∈G,证明∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣证明：先证设ebcaeabckk)()(设,)(eabck则eabcabcabcabc)())()((，即eabcabcabcabcaa1)())()((左边同乘1a，右边同乘a得eeaabacbcabcabcabcak1)()())()((反过来，设,)(eback则.)(eabck由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣屈婉玲版离散数学课后习题答案619.证明：偶数阶群G必含2阶元。证明：设群G不含2阶元，Ga，当ea时，a是一阶元，当ea时，a至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以a是有限阶的，设a是k阶的,则1a也是k阶的，所以高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元e,这与群G是偶数阶的矛盾。所以，偶数阶群G必含2阶元20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba.证明：先证明G含至少含3阶元。若G只含1阶元,则G={e},G为Abel群矛盾；若G除了1阶元e外,其余元a均为2阶元，则ea2，aa1bababaabababbbaaGba111111)(,)(,,,,所以，与G为Abel群矛盾；所以，G含至少含一个3阶元，设为a，则a2a，且22aaaa。令2ab的证。21.设G是Mn(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群。（1）全体对称矩阵是子群（2）全体对角矩阵是子群（3）全体行列式大于等于0的矩阵.不是子群（4）全体上（下）三角矩阵。是子群22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合，即N（a）={x∣x∈G∧xa=ax}证明N（a）构成G的子群。证明：ea=ae,)(aNeyaayxaaxaNyx,),(,则axyyaxayxyxayaxxya)()()()()()(,所以)(aNxy由xaax，得111111,eaxaexxaxxaxxx，即11axax，所以)(1aNx所以N（a）构成G的子群31.设1是群G1到G2的同态，2是G2到G3的同态，证明12是G1到G3的同态。屈婉玲版离散数学课后习题答案7证明：有已知1是G1到G2的函数，2是G2到G3的函数，则1·2是G1到G3的函数。,,1Gba))()(())(())((1121221baabab))()()(()))(()))((((21211212baba所以:1·2是G1到G3的同态。33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。证明：设G是循环群,令G=a,Gyx,,令lkayax,,那么yxaaaaaaxyklkllklk,G是阿贝尔群克莱因四元群,},,,{cbaeGeabccaecbbbceaacbaeecbae是交换群,但不是循环群,因为e是一阶元，a,b,c是二阶元。36.设,是5元置换，且3541254321，2154354321(1)计算111,,,,；(2)将11,,表示成不交的轮换之积。(3)将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。解：(1)12354543215213454321321545432114351254321123145543211(2))1425()14253(1)25)(143(1(3))15)(12)(14(奇置换，)13)(15)(12)(14(1偶置换)25)(13)(14(1奇置换