大物刚体课件

第5章刚体的定轴转动刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回转的装置。轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述?§5.1刚体运动的描述一.刚体特殊的质点系，——理想化模型形状和体积不变化在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变。二.自由度确定物体的位置所需要的独立坐标数——物体的自由度数sOi=1xyzO(x,y,z)i=3i=2xyzO刚体自由度i=3+2+1=6刚体受到某些限制——自由度减少刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持与自身平行—刚体平动ABABAB平动的特点(1)刚体中各质点的运动相同ABrrBABArrBAvvBAaa(2)刚体的平动可归结为质点运动ArBrO三.刚体的平动当刚体运动时，如果刚体内任一条直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫刚体的平动。)(tf)('ddtft)(dddd22tfttzMI角坐标角速度角加速度1.描述刚体绕定轴转动的角量刚体的平动和定轴转动是刚体的两种最简单、最基本的运动形式。刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动转轴固定不动—定轴转动II四.刚体绕定轴转动ttt角位移2.定轴转动刚体上各点的速度和加速度'rv2'ran'rtaddvcβ)(tt)(t0202200221当与质点的匀加速直线运动公式相象定轴P×ω,刚体参考方向θzOr'基点O任意点都绕同一轴作圆周运动,并且，都相同。rvraτvnarωtrddv速度与角速度的矢量关系式trωrtωtrωtaddddd)d(ddv加速度与角加速度的矢量关系式vωrβ定轴P×ω,刚体参考方向θzOr'基点OrvzOxω,rd角速度和角加速度都是矢量，其方向为z方向。在定轴转动中可以按标量处理参考方向转动平面任意点都绕同一轴作圆周运动,且，都相同刚体的复杂运动可以分解为转轴的运动+刚体的定轴转动转动平面垂直定轴的平面一飞轮半径为0.2m，转速为150rev/min，制动均匀减速，经过30s停止。（1）角加速度、转过的圈数（2）t=6s时的角速度（3）t=6s时边缘上一点的vana例求解已知条件0.2mr105602150srad030t00（1）角加速度、转过的圈数t02030630srad)(20202rad75220230revN5.372由由（2）t=6s时的角速度t0由164665srad（3）t=6s时边缘上一点的vana-1s2.5m0.8rv2105.0smra226.31smrna一刚体以每分钟60转绕Z轴作匀速转动(沿Z轴正方向)，设某时刻刚体上一点P的位置矢量为，其单位为10-2m；若以10-2ms-1为速度单位，则该时刻P点的速度为kjir9.04.03.0xyzijk12sradk)9.04.03.0(2kjikrji6.08.0P例解§5.2力矩刚体绕定轴转动的转动定律一.力矩力改变刚体的转动状态刚体获得角加速度力F对z轴的力矩hFrFFMτz)(力矩取决于力的大小、方向和作用点在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向••••质点获得加速度改变质点的运动状态rF//FnFFhFAzsin)(rFFMz(1)力对点的力矩O.FrMO(2)力对定轴力矩的矢量形式力矩的方向由右螺旋法则确定FrMZ(3)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴的力矩。讨论FroMxLOMy例已知棒长L,质量M，在摩擦系数为的桌面转动(如图)解xLMmddgmfdd根据力矩xgxLMMddMgLxgxLMML21d0xdxr'TTRMiTT'例如TR'TTRMiT'在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算•求摩擦力对y轴的力矩JMkJMJMz刚体的转动定律作用在刚体上的所有外力对定轴z轴的力矩的代数和刚体对z轴的转动惯量(1)正比于M，力矩越大，刚体的越大。(2)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同二.刚体定轴转动定律实验证明当M为零时，刚体保持静止或匀速转动当M不为零时，与M成正比，而与J成反比(3)与牛顿定律比较：amJFM,,讨论在国际单位中k=1OiriFif理论推证iiiiamfF取一质量元iiiiamfF切线方向iiiirfrF对固定轴的力矩2iirm对所有质元)(2iiiiiirmrfrF合内力矩=0合外力矩M刚体的转动惯量J•imiiiram三.转动惯量2iirmJ定义式质量不连续分布质量连续分布mrJd2影响转动惯量的三个要素:(1)总质量；(2)质量分布；(3)转轴的位置。(1)J与刚体的总质量有关例如等长的细木棒和细铁棒绕过端点轴的转动惯量LzOxdxM2020231ddMLxLMxxxJLL木铁JJ•定义：刚体对某轴的转动惯量，等于刚体上各质点的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积之和(2)J与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlORLlRmRJπ20202dd23π202π2π2dmRRmRlRRmROmrdrrrsdπ2dsmddRmRmrrRmmrJ0232022d2drRmrrrRmd2dπ2π22ROLxdxMz20231dMLxxJLLOxdxM2222121dMLxxJ/L/L四.平行轴定理及垂直轴定理zLCMz'2MLJJz'zz(3)J与转轴的位置有关1.平行轴定理'zJzJL:刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心轴的转动惯量:两轴间垂直距离RC2121ML/Jz22312MLLMJJZZ例均匀细棒的转动惯量2.(薄板)垂直轴定理yxzJJJzMLz例如求对圆盘的一条直径的转动惯量221mRJzyxzJJJyxJJ已知241mRJJyxyxz圆盘mx,y轴在薄板内；z轴垂直薄板。zxyFOr(1)飞轮的角加速度；(2)如以重量P=98N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速。解(1)JFr2rad/s239502098...JFrmaTmg(2)JTrra两者区别mgT例求一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦不计，(见图)。2mrJmgr22rad/s8212010502098....一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置求它由此下摆角时的β和OlmCx解mxggmxMdd取一质元CmxmxdCmgxM重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩dmcos21mglMlgmlmglJM2cos33cos212tωddddmgθωlg00d2cos3dlgsin3例一根长为的均匀直棒可绕其一端与棒垂直的水平光滑固定轴转动。抬起另一端，使向上与水平面成，然后无初转速地将棒释放。例解mgl60O60ml1求（1）放手时棒的角加速度。（2）棒转到水平位置的角加速度和角速度。（1）根据转动定律JM460cos2mgllmgM2235.743314sradlgmllmgJM（2）当棒转到水平位置时227.1423312sradlgmllmgJM2lmgM由动能定理02160sin22Jlmgsradlg1.560sin3圆盘以0在桌面上转动,受摩擦力而静止。解rrsmd2πddmgrfrMdddmgRMMR32d0tJMddtmRmgRdd21322d43d000gRttgRt430例求到圆盘静止所需时间。取一质元由转动定律摩擦力矩R§5.3绕定轴转动刚体的动能动能定理一.转动动能zOirivim设系统包括有N个质量元Nimmmm,......,,.......,,21Nirrrr.....,.....,,21Ni,......,......,,vvvv21,其动能为im221iikimEv2221iirm各质量元速度不同，但角速度相同2221iikikrmEE刚体的总动能2221iirm221JP•绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半（与质点动能比较）结论取二.力矩的功OrF'rrdd1力的功sFAdcosdd1rFdcos1FrdrF力矩作功的微分形式对一有限过程21dMA若M=C)(12MA(积分形式）dM力的累积过程——力矩的空间累积效应（与力的功比较）••.P三.转动动能定理——力矩功的效果)21d(2JddMAd)ddd(JtJ对于一有限过程2121)21d(d2JAA21222121JJkE绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理(2)力矩的功就是力的功。(3)内力矩作功之和为零。讨论(1)合力矩的功iiiiiiAMMA2121dd刚体的机械能PKEEE刚体重力势能CmghJE221iipghmECiimghmhmmg定轴转动刚体的机械能质心的势能刚体的机械能守恒（条件：非保守外力矩的功等于零）C212CmghJ对于包含刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。••ch0PECimih例一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置。解cos21mglM00dcos2dmglMA力矩的功221J0sin2lmglgsin32231mlJ21)sin3(/lg求它由此下摆角时的。此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCxmg动能增量0212J根据动能定理sin2lmg图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上，转轴Z上装一半径为r的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为m的重物。重物下落时，由绳带动被测物体A绕Z轴转动。今测得重物由静止下落一段距离h，所用时间为t。例解01PE01kE22222/J/mEZkv)2()(222r/JmrZv分析（机械能）：mghEP2求物体A对Z轴的转动惯量Jz。（设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。）)(2222ZJmrrmghv)(21dd2dd22ZJmrrtthmgvvatthddddvv，)12(22hgtmrJZ22222121tJmrmgrathZ常量ZJmrmgra22若滑轮质量不可忽略，怎样？（该问题也可以用转动定律求解）0)2()(222r/JmrmghZv机械能守恒一.质点动量矩(角动量)定理和动量矩守恒定律1.质点的动量矩(对O点)v