中考数学压轴题破解策略专题8《“PA+k

1专题8《“PA＋k·PB”型的最值问题》破解策略“PA＋k·PB”型的最值问题，当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k＞0时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路．1．当点P在直线上如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sin∠MBN＝k．过点A作AC⊥BN于点C，交BM于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．PCBAMN证明如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QD⊥BN于点D．NMABCPDQ由sin∠MBN＝k，可得QD＝k·QB．所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得证．2．当点P在圆上如图，⊙O的半径为r，点A，B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．在OB上取一点C，使得OC＝k·r，连结AC交⊙O于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．ABCPO证明如图，在⊙O上任取一点Q，连结AQ，BQ，连结CQ，OQ．2OPCBAQ则OC＝k·OQ，OQ＝k·OB．而∠COQ＝∠QOB，所以△COQ∽△QOB，所以QC＝k·QB．所以QA＋k·QB＝QA＋QC≥AC，即得证．例题讲解例1如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝5cm，对角线AC、BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1．5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．解：由题意可得，点Q运动到带你A的时间为2171过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F则EF＝3cm，AF＝523cm∴AE＝2922AFEFcm，从而sin∠EAF＝EAEF＝32过点P作PG⊥AD于点G，则有PG＝32PA过点O作OH⊥AD于点H，则OH＝21CD＝3而OP＋32PA＝PO＋PG≥OH，所以t最小＝3s3显然AH＝31AF，所以AP＝31AE＝23cm综上所述，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为23cm，点Q走完全程所需的时间为3s．例2在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m的顶点为C．直线y＝x＋2与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧．抛物线的对称轴与直线AB交于点M，作点B关于直线MC的对称点B'．以M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使得QB′＋22QB的值最小，则这个最小值为多少？解：∵y＝x2－2mx＋m2＋m＝（x－m）2＋m∴顶点C的坐标为（m，m），从而点M的坐标为（m，m＋2）连结MQ，则MQ＝MC＝2联立方程组2222xymmmxxy可得点A（m－1，m＋1），B（m＋2，m＋4）∴BM＝22)24()2(22mmmm，即MQ＝22MB取MB的中点N，则MN＝21MB＝22MQ连结QN，易证△QMB≌△NMQ∴QN＝22QB连结B′N，则QB′＋22QB＝QB′＋QN≥B′N4易得直线AB与y轴的夹角为45°，所以∠AMC＝45°连结B′M，则∠B′MB＝2∠AMC＝90°在RtB′MN中，B′N＝10)2(2)22(2即QB′＋22QB的最小值为10进阶训练1.如图在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上，设D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当21CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．83AB2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，以点B为圆心作B与AC相切，P为B上任意一点，求PA＋22PC的最小值．5