成都专升本[高等数学(专)]

1/10高等数学（专）复习题一、选择题1、下列等式哪一个是正确的（C）.A1limsinxxx；B10lim14xxx；C0sinlim1xxx；D0sinlim2xxx.2、当0x时，与x等价的无穷小量为（B）.A1ex；Bln1x；C1211x；D1cosx.3、设函数,zfxyxy，且1fC类，则zx=（A）A12+ff；B12ff；C12fyf；D2fy.4、极限10lim13xxx的值等于（A）.A3e；B13e；C3e；D13e.5、设1f存在，则011limxfxfx（B）A112f；B1f；C21f；D21f.6、设函数,zfxyxy，且1fC类，则zy=（C）A12fyf；B12fxf；C12fxf；D2f.7、方程exyy是（A）.A可分离变量方程；B齐次方程；C一阶线性微分方程；D以上都不正确.8、设fx在点0Mx处可微，则下列结论不正确的是（D）Afx在点M处极限存在；Bfx在点M处连续；Cfx在点M处可导；Dfx在点M不连续.9、设()fx在[,]()abab上二阶可导，且()0,()0,fxfx若令12()(),()d,baSfabaSfxx=则（C）2/10A12SS；B12=SS；C12SS；D12SS与无大小关系.10、若二元函数,fxy在点00,xy处可微，则,fxy在点00,xy处下列结论成立的是（A）A连续；B偏导数不存在；C偏导数连续；D不连续.二、填空题1、函数233yxx的单调递增区间为（0,2）.2、设函数,zfxyxy，且1fC类，则zx=（12fyf）.3、函数233yxx的凸区间为（1,）.4、设函数sinzxy，则dz（sindcosdyxxyy）.5、设函数yfx由方程32210xyxyx确定，则ddyx（3224132yxyxyx）.6、函数233yxx的凹区间为（1x）.7、微分方程2yxy的通解为（2exyC）.8、设1,1,1,2,1,2ab，则ba（1）.9、曲线24ytxt在1t处的切线方程为（112yx）.10、设微分方程232exyyy=x的特解形式*y可设为（2e()xaxb）.三、解下列各题1、求下列函数极限（1）0sinlim2xxx；（2）1limsinxxx；（3）2241lim22xxx（4）10lim14xxx解：（1）00sin1limlim222xxxxxx（2）11limsinlim1xxxxxx（3）2222241211limlimlim42424xxxxxxxx3/10（4）140lim14exxx2、求下列函数的间断点，并判断其类型：（1）sinxfxx;(2)211xfxx解：（1）间断点为0x，且0sinlim1xxx，所以0x为可去间断点（2）间断点为1,1xx，且21111limlim11xxxxx，所以1x为无穷间断点211111limlim121xxxxx，所以1x为可去间断点3、求过点(2,11)，且与平面12:330,:2340xyzxyz都平行的直线方程.解：假设所求直线方程的方向向量为s，平面1，2的法向量为1n，2n有题可知1sn，且2sn，即12//snn所以，取12snn1131313111076231312123ijkijkijk107sijk直线方程为：2111107xyz84、计算由曲线2yx以及直线0,1yx所围成的平面图形（第一象限部分）的面积S及该平面图形绕着Oy轴旋转一周所得旋转体的体积yV.4/10120130122205141001.......212=1.......4333[(1)()].......64=[1]()5yydyyyVydyyydyy解：S=.......855、证明：当0x时，21ln12xxx.证明：令21=ln12fxxxx,00f则:21=111xfxxxx,当0x时,0y,所以fx单调递增;所以当0x时,0fxf,即:21ln12xxx6、设函数()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且10()d0.xfxx证明：在区间(0,1)内至少存在一点,使得()()0.ff证明：因为10()d0xfxx，由积分中值定理可知：存在(0,1)，使得()02f令()()Gxxfx，由于(0)0G，()0G，再由罗尔定理可知，存在(0,1)，使得()0G，()()0.ff7、计算下列函数的导数及微分（1）2lnyxx；（2）sincosyxx；（3）2esin3xyx；解：（1）212ln2ln;d2lndyxxxxxxyxxxxx；（2）22cossincos2;dcos2dyxxxyxx（3）222e3cos3;d2e3cos3dxxyxyxx5/108、设2e0,()10,xxxfxxx，求20(1)d.fxx222200111012011010(1)d=(1)d(1)()d.......211=(1)dd=(t)22txttfxxfxxftttttette解：........611=0(1)(1)1.........8222ee9、求不定积分1d.1xx2,,d2d21ddt.........311112dt.........61=22ln1=22ln1+Cxtxtxtttxtxttttxx解：令..........810、计算极限23400sindlimxxttxx。解：23400sindlimxxttxx223230300.............44==0.............8442sinlim322limlim33xxxxxxxxxxxx11、求微分方程22xxyyxe的通解.6/1022()()1121,(),()........2(()).........4()xxpxdxpxdxdxdxxxxyyxepxqxxexxyeqxedxCexeedxC解：化为标准形式:通解ln2ln22.........5=()..........611()().2xxxxxexeedxCxxedxcxeCx...........812、、求微分方程3221yyyx的通解.解：所对应的齐次微分方程的特征方程为2320rr,其特征根为:121,2rr,所以齐次方程的通解为:1221212rxrxxxyCeCeCeCe假设非齐次方程的特解为:*yaxb,代入原方程得:1,2ab所以*2yx故原方程的通解为:*2122xxyyyCeCex13、求下列方程所确定的隐函数的导数（1）ee0xyxy；（2）426230yyxx解：（1）令,eexyFxyxydee,e,dexxyxxyyyFyyFyFxxFx（2）令426,23Fxyyyxx333555d422142,218,d2189xxyyFyyyFyFxxxFxxxx7/1014、设函数yyx由参数方程24ytxt确定，求其在1t处的切线方程。解：dd8dt8dd1yyttxxdt，当1t时，1,4xy所以切线方程为481,84yxyx即：15、求下列函数在给定区间的最值（1）3223121,2,4fxxxx；（2）4226,1,1fxxx解：26612fxxx，令0fx，得：122,1xx221,16,4129fff，所以函数在3,4上的最大值为129和最小值-6。（2）344fxxx，令0fx，得：1230,1,1xxx15,15,06fff，所以函数在2,2上的最大值为6和最小值5。16、计算二重积分2Dxydxdy，其中D是由抛物线2yx和直线yx所围成的有界闭区域.解:22122011224600........311(|)().........6221111().25735xxDxxxydxdydxxydyxydxxxdx.........817、求函数221ln1xtyt在t0时的切线方程及法线方程。解：当0,1,0;..............1txy8/102222(1);.............312(ln(1));............51dxttdttdyttdtt00022()2;............61tttdydydxdtdtdxt所以切线方程为2(1),yx即22;.........7yx法线方程为1(1),2yx即12..........8xy18、设(,)zfxy是由方程22220xyzxyz所确定的隐函数，求.zzxy，解：令222(,,)2Fxyzxyzxyz2,4,21.xyzFxyFyxFz2;214.21xzyzFxyzxzFFyxzyzF19、设函数22e0,()0,1xxxfxxxx，求20(1)dfxx。解：设1tx，则dxdt，当0x时，1t，当2x时，1t………2’2210120110(1)ded+d1xxfxxftdtxxxx………4’20211011111eln1ln222222xxe………8’20、计算下列不定积分：12d1xxx；22d1xxx；edxxx解：2222111ddln11122xxxxCxx9/10222211ddarctan11xxxxxxCxxeddeeexxxxxxxxC21、若函数fx的原函数为sinxx，求dxfxx。解：由题可知：coscossinfxxxxxx22ddd=cossincossinxfxxxfxxfxfxxxxxxxxCxxC22、设函数1,01e,0xxfxxx，求311dfxx。320212200202202021,1,2;32.1dddd1=eddeln11=1eln3xxxtxtxtfxxfttfttfttxxxx