对几个矩阵不等式的探讨及应用

对几个矩阵不等式的探讨及应用任德耀指导老师:李建华(河西学院数学与应用数学专业2011届3班28号,甘肃张掖734000)摘要本文主要对几个矩阵不等式给出证明,并给出具体例子说明这几个矩阵不等式在证明题中的的应用.关键词矩阵不等式正定矩阵对称矩阵中图分类号O151.21.1引言矩阵是数学研究及其应用的一个重要工具,在数学学科和许多科学领域都有广泛的应用.而矩阵不等式在近些年来引起了许多学者的兴趣,一些经典不等式在矩阵中的推广及应用更是成为研究的热门问题.本文对几个矩阵不等式进行了深入研究,主要目的是给出了几个不等式的证明，并将其运用到证明题中.今后还将更深入的对矩阵不等式进行研究.2预备知识引理[1]1设nkrAr,则存在矩阵nrM与rkN,rMrNr(即M列无关,N行无关),使AMN.引理[2]2设,ii均为正数，则111111[()]()()=nnnnnniiiiiii当且仅当(1,2,,)iipin时，等号成立.引理[3]3设A正定，为B对称矩阵，则存在可逆矩阵T，且||T，使得'1,2(,,)nTATdiag'12(,,,)nTBTdiag其中0,(1,2,,)iiRin.引理[2]4设,AB是nn阶正定实对称矩阵,则对任意的正数，有111||||||nnnABAB等号成立当且仅当,(0).AkBk3对几个矩阵不等式的证明定理1[4]()不等式Frobenius设,,ABC依次为,,mnmsst矩阵，则()()()()rABCrABrBCrB.证明由分块矩阵的初等变换知000第一行又乘-加到第二行，再第二行乘-1第二行左乘-加到第一行CAABBABBBBCABCCABC又初等变换不改变分块矩阵的秩及引理1，知：00()()()()()()000ABABBBrABrBCrrrABCrBBCBCABC从而()()()()rABCrABrBCrB.定理2设,AB正定，,abAIBI，则111()()()nnnababABIIAIBI（1）当且仅当11aAbB时等号成立.证明因,AB正定，有引理3知，存在可逆矩阵T，且1T，使得'1,2(,,)nTATdiag'12(,,,)nTBTdiag（2）其中0,0(1,2,,)，iiin,因此1niiA1niiB1'()''()niiiABTABTTATTBT（3）又因naIanbIa()nabIIab于是不等式（1）等价于111111[()()]()()nnnnnnnnniiiiiiiabab由已知条件及引理2知（3）式成立，从而定理得证，等号成立的条件是：当且仅当（3）式等号成立，即有iiab，代入（2），得111'(,,)(,,)'innaTATdiagaadiagbbbTBT即11aAbB在（1）中令0,0ab，即得（1）.推论1设iA正定，则1111kknniiiiAA当且仅当1122(0)kkicAcAcAc时，等号成立.定理3设、AB为nn阶正定实对称矩阵,()为实数rnr则对任意正数，有111()||||||rnrrrrABAB当rn时,等式成立当且仅当AB,当rn时,等式成立当且仅当,(0).AkBk证明当rn时,由引理4得证当rn时,设,,qrnpqp为正数且(,)1pq则()()||qppnpqqAB1()||qnppqqAB1()||qnpqqABE10()00qqnpqABAB100()0000qqnpqABAB上式中的E为pp阶单位矩阵,因为,AB是nn阶正定实对称矩阵,所以000000与ABAB实质为()()npnp阶正定实对称矩阵,而qnp,所以100()0000qqnpqABAB11000000qqABAB||||ppqqAB即,111()||||||rnrrrrABAB,证毕.推论2设,0,(1,2,,)为iirnAimnn阶正定实对称矩阵，则11111()rnmmmrrriiiiiiiiAA当rn时,等式成立当且仅当1iAA.当rn时,等式成立当且仅当,(0).iiAkAk证明用归纳法，当12或m时显然成立.假设当1km时已成立，则当时有1121122()||rnrrmmmAAA1111111111[()]()rnrmmrmmmmmmmmmmAAA112111111||()mrmmriimmmmimmmmAAA1121111111111()||||rmrnmmmmrrriimmmmimmmmmmmmAAA11mriiiA即当km时成立，得证.4几个矩阵不等式的应用例1设,AB都是nn矩阵，证明：若0AB，那么()()rArBn.证明由0AB，于是()()rArBn以()0rAB，由定理1得0()()()rABrArBn.例2设,,ABC是三个n阶方阵，证明：若()()rBrAB，则()()rBCrABC.证明由()()rBrAB和定理1知()()()()()rABCrABrBCrBrBC另一方面()()rABCrBC故()()rBCrABC.例3求证：对满足条件120,0，XX2211122200，XYZXYZ的所有实数1212,,,XXYY及12，ZZ有不等式222121212111222811()()()XXYYZZXYZXYZ成立，并求出等号成立的条件.证明由题设知，2阶实矩阵11111XZAZY22222XZAZY是正定的，且原不等式等价于1212811AAAA由推论1有212121211128(()4()AAAAAAAA即1212811AAAA故原不等式成立，当且仅当12AA，即121212,,XXYYZZ时，等号成立.例4证明不等式22111()()()nnnttkkkkkkkkppapa证明取22,()tkkrAa为一阶矩阵，则2||,(1,2,,)tkkAakn，由推论2得到2111222221111()()()nnnntttkkkkkkkkkkkppapapa两边平方得22111()()()nnnttkkkkkkkkppapa得证.5小结本文对三个矩阵不等式进行了研究，证明了三个矩阵不等式在一定条件下成立，并得出其推论.然后又将三个矩阵不等式或其推论运用到证明题中，充分说明了该矩阵不等式的存在和成立.本文只是对三个矩阵不等式进行了研究，不具备代表性，未来还将对更多的矩阵不等式进行更深入的研究.参考文献[1]王莲花,梁保松.Frobenius不等式的一个证明及其应用.安阳师范学院学报[J]，2004(5).[2]方献亚.正定实对称矩阵的几个不等式.数学通报[J],1985(3).[3]郑维英.一个矩阵不等式的改进及应用.鞍山钢铁学院学报[J],2000(5).[4]胡海清.线性代数解题分析[M].长沙：湖南科学技术出版社,1985.[5]王松桂，吴密霞，贾忠贞.矩阵不等式（第二版）[M].北京：科学出版社,2006.