导数及其应用试题选编

导数及其应用试题选编一、填空题１扬州14．若函数3213fxxax满足：对于任意的12,0,1xx都有12||1fxfx恒成立，则a的取值范围是▲．2．启东中学3．若曲线xxxf4)(在点P处的切线平行于直线3x-y＝0，则点P的坐标为▲．3．苏北四市8．曲线2ayyxx和在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是_▲.4．苏北四市13．已知函数)(xf是定义在R上的奇函数，0)1(f，0)()(2xxfxfx）（0x，则不等式0)(2xfx的解集是____▲.5．泰州实验9．函数xxxfln)(的单调减区间为_▲_．6．盐城8．.设P为曲线2:1Cyxx上一点,曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[1,3],则点P纵坐标的取值范围是____▲___.二、解答题1．无锡19．已知函数21()2,()log2afxxxgxx－（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果()()()hxfxgx是增函数，且()hx存在零点（()hx为()hx的导函数）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1x2）是函数y＝g（x）的图象上两点，21021()yygxxx（()g'x为()gx的导函数），证明：102xxx．解：（Ⅰ）因为21()2log2ahxxxx(0)x，所以21ln2ln1()2lnlnxaxahxxxaxa．因为h（x）在区间(0,)上是增函数，所以2ln2ln10lnxaxaxa≥在区间(0,)上恒成立．若0a1，则lna0，于是2ln2ln10xaxa≤恒成立．又()hx存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna0矛盾．所以a1．由2ln2ln10xaxa恒成立，又()hx存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，所以lna＝1，即a＝e．（Ⅱ）由（Ⅰ），001()gxx，于是210211yyxxx，21021lnlnxxxxx．以下证明21121lnlnxxxxx．（※）（※）等价于121121lnln0xxxxxx．令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，r′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）0，所以r（x）在（0，x2］上为增函数．当x1x2时，r（x1）r（x2）＝0，即121121lnln0xxxxxx，从而01xx得到证明．对于21221lnlnxxxxx同理可证，所以102xxx．2．苏北四市19.已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).(1)若a=－2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数；(2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围.解：（1）当2a时，xxxfln2)(2，当),1(x，0)1(2)(2xxxf，故函数)(xf在),1(上是增函数。（2）)0(2)(2xxaxxf，当],1[ex，]2,2[222eaaax．若2a，)(xf在],1[e上非负（仅当2a，x=1时，0)(xf），故函数)(xf在],1[e上是增函数，此时min)]([xf1)1(f．若222ae，当2ax时，0)(xf；当21ax时，0)(xf，此时)(xf是减函数；当exa2时，0)(xf，此时)(xf是增函数．故min)]([xf)2(af2)2ln(2aaa．若22ea，)(xf在],1[e上非正（仅当2e2a，x=e时，0)(xf），故函数)(xf在],1[e上是减函数，此时)()]([minefxf2ea．综上可知，当2a时，)(xf的最小值为1，相应的x值为1；当222ae时，)(xf的最小值为2)2ln(2aaa，相应的x值为2a；当22ea时，)(xf的最小值为2ea，相应的x值为e．（3）不等式xaxf)2()(，可化为xxxxa2)ln(2．∵],1[ex,∴xx1ln且等号不能同时取，所以xxln，即0lnxx，因而xxxxaln22（],1[ex），令xxxxxgln2)(2（],1[ex），又2)ln()ln22)(1()(xxxxxxg，当],1[ex时，1ln,01xx，0ln22xx，从而0)(xg（仅当x=1时取等号），所以)(xg在],1[e上为增函数，故)(xg的最小值为1)1(g，所以a的取值范围是),1[．3．启东中学20．已知函数)0()(xxtxxf,过点P(1,0)作曲线)(xfy的两条切线PM,PN,切点分别为M,N．（1）当2t时，求函数)(xf的单调递增区间；（2）设|MN|=)(tg，试求函数)(tg的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间]64,2[nn内，总存在m＋1个数,,,,,121mmaaaa使得不等式)()()()(121mmagagagag成立，求m的最大值．解：（1）当,2)(,2xxxft时0221)(222xxxxf2,2xx或解得.则函数)(xf有单调递增区间为),2(),2,(；（2）设M、N两点的横坐标分别为1x、2x，)1(.02).1)(1()(0),0,1().)(1()(:,1)(12112111121112ttxxxxtxtxPPMxxxtxtxyPMxtxf即有过点切线又的方程为切线同理，由切线PN也过点（1，0），得.02222ttxx（2）由（1）、（2），可得02,221ttxxxx是方程的两根，(*).22121txxtxx])1(1[)()()(||22122122211221xxtxxxtxxtxxxMN＝])1(1][4)[(22121221xxtxxxx，把（*）式代入，得,2020||2ttMN因此，函数)0(2020)()(2ttttgtg的表达式为（3）易知]64,2[)(nntg在区间上为增函数，12121(2)()(1,2,,1).(2)()()().()()()(),immmggaimmggagagagagagagan则对一切正整数成立恒成立对一切的正整数不等式nnnggm)64()2(；,)64(20)64(2022022022nnnnm.3136.3136]1616[61)]64()64[(61,1664)]64()64[(61222mnnnnnnnnnnnm恒成立对一切的正整数即由于m为正整数，6m.又当.,16,2,6121满足条件对所有的存在时naaaammm因此，m的最大值为6.4．苏州20.已知函数2lnbxxaxf图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为22ln23xy．（Ⅰ）求ba,的值；（Ⅱ）若方程0mxf在1[,e]e内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底，e2.7）；（Ⅲ）令gxfxnx，如果xg图象与x轴交于21210,,0,xxxBxA，AB中点为0,0xC，求证：00gx．解：Ⅰ）2afxbxx，242afb，2ln24fab．∴432ab，且ln2462ln22ab．解得a＝2，b＝1．（Ⅱ）22lnfxxx，令2()2lnhxfxmxxm，则222(1)2xhxxxx，令0hx，得x＝1（x＝－1舍去）．在1[,e]e内，当x∈1[,1)e时，0hx，∴h(x)是增函数；当x∈(1,e]时，0hx，∴h(x)是减函数．则方程0hx在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e(1)0,(e)0.hhh≤≤即21e2m≤．（Ⅲ）22lngxxxnx，22gxxnx．假设结论成立，则有21112222120002ln0,2ln0,2,220.xxnxxxnxxxxxnx①②③④①－②，得221121222ln()()0xxxnxxx．∴12012ln22xxnxxx．由④得0022nxx，∴12120ln1xxxxx．即121212ln2xxxxxx．即11212222ln1xxxxxx．⑤令12xtx，22()ln1tuttt（0＜t＜1)，则22(1)()(1)tuttt＞0．∴()ut在0＜t＜1上增函数．()(1)0utu，∴⑤式不成立，与假设矛盾．∴00gx．5．泰州19.已知数列}{na，}{nb中，221),10(tattta且，且tx是函数xaaxaaxfnnnn)()(31)(131的一个极值点.（1）求数列}{na的通项公式；（2）若点nP的坐标为（1，nb）（)*Nn，过函数)1ln()(2xxg图像上的点))(,(nnaga的切线始终与nOP平行（O为原点），求证：当1,221tt且时，不等式212111...22nnnbbb对任意*Nn都成立.解：（1）由)2)(()(0)(11/naataatfnnnn得}{,111nnnnnnaataaaa是首项为tt2，公比为t的等比数列，当1t时，nnnnttaa11，)1(ttann所以)1(ttann（2）由)(/nnagb得：)1(211,121222nnnnnnnnttbttaab)212(211nnnb(作差证明)221221111111...[(22...2)(...)]2222112(12)22122222nnnnnnnnnbbb综上所述当221t时，不等式212111...22nnnbbb对任意*Nn都成立.6．泰州20.已知xxxgexxaxxf)ln()(),0,(,ln，其中e是自然常数，.aR（1）讨论1a时,()fx的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，1|()|().2fxgx（3）是否存在实数a，使()fx的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。解：（1）xxxflnxxxxf111'当1xe时，0'xf，此时xf为单调递减当01x时，0'xf，此时xf为单调递增xf的极小值为11f（2）xf的极小值，即xf在0,e的最小值为11minxf令21ln21xxxgxh又21ln'xxxh当0xe时0'xh，xh在0,e上单调递减minmax12121211xfeehxh当0,ex时，21xgxf（3）假设存在实数a，使xaxxfln有最小值3，0,exxaxf1'①当ea1时，由于0,ex，则01'xaxf函数xaxxfln是0,e上的增函数31min