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1导数与微分在高三物理复习中的应用湖北宜昌市田家炳中学443001齐克军高中数学新教材已将“导数与微分”作为高三数学教学内容,这一改革对物理教师来说,是一件如鱼儿得水的快事!在高三物理复习中,恰当运用导数与微分这一数学工具,可以简化分析过程,提升思维层次,深化对物理问题的理解;同时,可以让学生深刻体念数学在物理中的价值,培养学生善于运用数学知识解决物理问题的能力.笔者结合近几年高三复习备考的尝试,谈谈导数与微分在高三物理复习中的应用.一、理解物理概念.瞬时速度是一个不好理解的概念,高一物理教材在“怎样理解瞬时速度”的阅读材料中举例:汽车经过A点时,从A点起取足够小的位移或足够短的时间,所得的平均速度就等于汽车经过A点的瞬时速度.高三复习时,可以将这种表述简化为数学式:dtdstsvtt0lim,即质点经过某点的瞬时速度等于位移对时间在该点的导数.类似地,质点经过某点的加速度等于速度对时间在该点的导数.我们还可以用匀变速直线运动的公式2021attvs、atvvt0来验证.电阻虽然是一个简单的物理概念,但仍然存在理解上的误区.如有的同学在"研究小灯泡伏安特性曲线"实验中认为:I-U图线切线斜率的变化反映电阻的变化,甚至认为I-U图线切线斜率的倒数就等于电阻.结合小灯泡伏I图1UAB2安特性曲线(图1)来看,从A到B,切线斜率减小,电阻增大,这种理解似乎没错,但换一种情形,这种理解的错误就会显露出来.如图2,从A到B,切线斜率减小,即B点切线斜率斜率的倒数较大,但B点对应的电阻较小.从导数的知识可知,I-U图线切线斜率k等于I对U的导数,即dUdIk,dIdUk1,上述错误在于把电阻的定义式IUR换成了dIdUR,而一般情况下,dIdUIU,只有对金属导体这类线性元件(伏安特性曲线是过原点的直线),才有dIdUIUR.再如,感应电动势的计算公式tE,高中物理中一般只涉及两种情况:当S不变时,tBSE;当B不变时,tSBE.但高三复习中,有学生问“当B和S都变时,怎样求E呢?”,如果我们回答“这种情况高考不考”,学生是不会满意的,如果将此公式写成dtdE,同时将BS代入得dtdSBdtdBSE,然后分三种情况讨论,既开阔了学生的眼界,又培养了学生的兴趣.二、认识物理规律.LC回路电磁振荡规律中,电容器放电时,极板间电压减小,放电电流增大,到放电完毕瞬间,极板间电压为零,放电电流达到最大.学生总是受欧姆定律Rui的干扰,产生疑问:电压为零时,电流怎么会最大呢?高二上新课时,我们除了强调学生不要用欧姆定律研究LC回路之外,只能从电能、磁能转化和守恒的角度作定性的分析说明.高三复习时,我们可以借助导数和微分的知识,轻松地突破这IU图2BA3一难点:放电时,电容器极板上电荷q的减少量等于导线中流过的电量,由电流的定义式可得dtdqi再结合电容的定义式uqC得dtduCiLC回路中电容器周期性充放电,极板间电压可表示为tUumcos则tCUimsin由此可知,0u时,i取最大值.绳拉物体运动的分解也是一个教学难点.如图3,小车拉绳的速度v1和木块前进的速度v2,哪个当分速度,哪个当合速度,二者关系如何,学生不易弄清,借用导数知识很容易解决:由图可知,222lhx两边对时间求导得:dtdlldtdxx由于dtdlv1、dtdxv2、lxcos故cos21vv.三、求解物理问题.高中物理中,经常遇到一些研究变化趋势、快慢和极值的问题,这类问题通常可以用数学变换(如化为繁分数、配成完全平方式)和数学重要不等式等方法解决,但有时用这些方法显得很麻烦,甚至解不出来,而用导数和微分的方法却很简洁.实际上,导数和微分是解决这类问题的一般方法.例一:如图4所示,某人站在离河北岸20m的A处,看到河图3hxlv1+v2+4下游70m离河南岸10m的B处发生险情,此人马上快速跑到河边,再以跑步43的速度过河跑到出事点进行抢险.已知河宽为40m,且河水不流动,此人跑步的速度为8m/s,问此人到达出事点的最短时间是多少?为便于研究,先将河道向南平移10m,使陆地上的两段运动连在一起,这样将问题情景转化成人离北岸30m,出事点在南岸边上,如图5所示.为了求出最短时间,我们先把人沿任意路线(图5中的A-E-B)运动的时间表示出来:设EF=x,则xED70682222EDBDEFAFt即6)70(408302222xxt(700x)根据上述表达式,求最短时间,就是求上式中t的最小值.为此,令t对x的导数等于零,即0)70(406703082222xxxxt解得x=40m,代入t的表达式得t=14.6s.这就是最短时间.(注:本题借用光学中的费马定理也可以很简洁求解)例二:如图6所示,三个点电荷位于等边AB北岸南岸河图4q3q1q2图6河图5EDAB北岸南岸F5三角形的三个顶点,1q和2q为正电荷,3q为负电荷,电量均为q,现将1q和2q固定,3q由静止释放,试定性讨论3q的速度和加速度变化情况.(不考虑重力)q3受电场力的合力沿1q和2q连线的中垂线,3q由静止释放后沿中垂线做直线运动,为弄清加速度的变化情况,先要弄清中垂线上电场强度的变化情况.根据1q和2q连线中点O处和无限远处场强均为零可推知,中垂线上电场强度不是单调递增或递减,一定存在极值点,我们需要把极值点求出来.如图7,设1q和2q连线长为2a,则中垂线上任意一点P处场强为:222cossin2sincos2akqakqE求E对的导数得:cossin2cos2232akqE令0E得:33sin(负值对应P在O点下方).由于60sin2333sin,故电场强度最大值在3q初位置下方.由此可知,3q由静止释放后沿中垂线先做加速度增大的加速运动,再做加速度减小的加速运动,到达1q和2q连线中点O时加速度为零,速度最大,然后做加速度增大的减速运动,再做加速度减小的减速运动,到达初位置的对称点时,速度减为零,开始向上返回,此后,按照类似的规律往复运动.图71q2qOPE
本文标题:导数与微分在物理中的应用
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