子式和秩的关系

二、矩阵的秩1．定义2.10m×n阶矩阵A的行秩、列秩，统称为矩阵A的秩，记作r(A)注1°0≤r(A)≤min2°r(A)=m称A为行满秩矩阵r(A)=n称A为列满秩矩阵行满秩或列满秩，统称为满秩矩阵。3°看例1，只要将A化为阶梯形，知道行秩即可得矩阵的秩，即由B的行向量值，知道行秩为2，∴2．矩阵秩的判断定理引n个n维向量的相关与无关，可以通过构成的n阶行列式是否为零来判断。矩阵的秩是否也可以通过矩阵中元素构成的行列式来讨论呢？这就是下面要阐述的判断定理。(1)矩阵A的k阶子式行列式的k阶子式的概念同样可以运用到矩阵上来。即：在矩阵中，任取k行，k列，位于这些行列交叉处的个元素按原来顺序组成的一个k阶行列式N，称为矩阵A的一个k阶子式。(2)引理矩阵A有r阶子式不为零，则r(A)≥r证明不妨设A的前r行、r列构成的r阶子式则……线性无关又为，，…，增维所得。由“无关增维仍无关”，则线性无关。∴r(A)≥r(3)定理2.12证明1°设∴A的行向量中一定有r个线性无关，设为，由其构成矩阵则的列秩为r，必有r个列向量线性无关。不妨设线性无关所以即至少有一个r阶子式不为0。2°仅证r+1阶子式都为0设有r+1阶子式不为0，由引理r(A)=r+1，矛盾。首先所有r+1阶子式都为0，由行列式展开定理，任意大于r+1阶的子式也为0。有r阶子式不为0由引理r(A)≥r如果，由“”的证明必有阶子式不为0，矛盾。∴*一个矩阵通过初等变换，化阶梯形来确定矩阵的秩的方法，可以从定理2.12处再次找到依据。看例1分析B，阶梯为2，必有2阶子式不为0为上三角行列式，必不为0。又第三行元素全为0，则任意3阶子式都为0∴下面举例说明如何借助矩阵研究向量组。例2从向量组中选出一个极大无关组，将其余向量用极大无关组线性表示，并求向量组的秩。解方法1以向量作为行构成矩阵A并对矩阵施以初等行变换，化阶梯形为B记录行的变换∴∴∴线性无关，即极大无关组。=0∴∴方法2以向量作为列构成矩阵对施以初等行变换线性无关∴线性无关，即极大无关组。仍然通过初等行变换，将变为基本单位向量。∴注1°方法2的依据是定理2.10，对矩阵施以初等行变换，列向量间的线性关系不变，所以自始至终应施以初等行变换。2°将极大无关组中向量化为基本单位向量，目的在使线性表示一目了然。因为页码: