反比例函数的实际应用

广州卓越一对一初中数学教研部编著第1页共18页第一部分：知识点回顾详解点一、反比例函数在实际问题中的应用在解决实际问题时主要应用反比例函数的性质：在中，当0k时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当0k时，在每个象限内，y随x的增大而增大。说明：（1）在实际问题中，k都取大于零的值。（2）实际问题中的自变量一般为正数，因此图象一般只在第一象限内。详解点二、利用反比例函数解决实际问题反比例函数的性质在实际生活中应用广泛，在运用时要看清问题中的数量关系，充分利用数形结合来解决。主要考点有：考点1、对实际问题的反比例函数图象的考查考点2、反比例关系的确定及其应用考点3、反比例函数与一次函数在实际问题中的综合应用第二部分：自我评测知识点掌握情况备注非常好一般有待提高将实际问题转化为数学问题。满足的函数关系自变量的取值范围第三部分：例题剖析例1．（2009年青岛市）一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）课题17-2反比例函数的实际应用教学目标教学重点教学难点学生姓名年级八年级日期I/A第2页共18页之间的函数关系如图4所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（A）A．不小于4.8ΩB．不大于4.8ΩC．不小于14ΩD．不大于14Ω分析：本题是与物理学中的有关知识相结合，必须借助物理知识，建立数学模型，从而使问题获解．解这类题的一般步骤是：（1）由图象可知，是一支双曲线，因而可判断该函数为反比例函数，故可设mIR，问题便可解决；2）将数字代入，解方程即可；（3）解简单的不等式即可．解：由图象可知，是一支双曲线，故可设mIR，将（6，8）代入得：m=48，所以，48IR=，又由题意得：48R≤10，所以I≥4.8，故选A．温馨提示：本题是通过创设生活中的情景来考查反比例函数在实际生活中的广泛应用，特别是中考中与物理、化学学科的相互渗透更是命题的热点之一，用反比例函数解决实际问题，培养同学们应用数学的创新能力和密切联系实际的实践能力，也是新的课程标准的重要目标之一．例2．（2009年湖南邵阳）如图1是一个反比例函数图象的一部分，点(110)A，，(101)B，是它的两个端点．（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．分析：本题重点考查如何根据题意列出反比例函数的解析式，然后用反比例函数的解析式解释生活中的实际问题．解：（1）设kyx，(110)A，在图象上，101k，即11010k，10yx，其中110x≤≤；（2）答案不唯一．例如：小明家离学校10km，每天以km/hv的速度去上学，那么小明从家去学校所需的时间10tv．温馨提示：本题重点考查学生对反比例函数概念的理解和掌握以及如何根据条件写出函数关系式．例3某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：x（元）3456y（元）20151210111010ABOxy图1第3页共18页（1）根据表中的数据，在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；（2）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；（3）设经营此卡的销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此卡的售价最高不超过10元/个，请求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？解题思路：（1）注意两个变量之间的关系。（2）观察数据特点xy=60,可知y与x之间的反比例函数关系；（3）注意销售利润=（销售单价-进价）×销售数量即：w=(x-2)y=(x-2)60x。则y=60-120x由于x≤10当x=10时y最大.第四部分：典型例题例1、物理学中的应用（电学）一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆，已知电压为220伏，这个用电器的电路图如上图所示。（1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？（2）用电器输出功率的范围多大？【变式练习】在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示．（1）写出I与R之间的函数解析式；（2）结合图象回答：当电路中的电流不超过12（A）时，电路中电阻R的取值范围是什么？第4页共18页例2、物理学中的应用（力学）某气球内充满了一定质量的气球,当温度不变时,气球内气球的压力p(千帕)是气球的体积V(米2)的反比例函数,其图象如图所示(千帕是一种压强单位)[来源:学&科&网Z&X&X&K]（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积为0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米？【变式练习】某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境．(1)请你解释他们这样做的道理．(2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?(3)如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么①用含S的代数式表示p，P是S的反比例函数吗?为什么?②当木板面积为0.2m2时，压强是多少?③如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大?④在直角坐标系中，作出相应的函数图象．⑤请利用图象对(2)(3)作出直观解释，并与同伴交流．第5页共18页例3、反比例关系的确定及其应用市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深?(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)。【变式练习】1.求解析式(1)已知某矩形的面积为20cm2，写出其长y与宽x之间的函数表达式。(2)当矩形的长为12cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4cm，求其长为多少?(3)如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少?第6页共18页2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米／时的平均速度用6小时到达目的地。(1)当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？(2)如果司机必须在4个小时之内回到甲地，则返程时的速度不能低于多少？第五部分：思维误区误区一：忽视实际问题中自变量的取值范围。例1已知矩形的面积为20，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可以表示为（）ABCD第7页共18页错解：由矩形的面积公式，知xy=20，即。因为k=20＞0，所以图象在第一、三象限。故选C。纠错秘方：本题是一道实际问题，矩形的长与宽都应为正数，因此，函数的图象只在第一象限，而不能第一、三象限的图象全取。正解：由矩形的面积公式，知xy=20，即。因为k=20＞0，又考虑到x＞0，y＞0，所以图象只在第一象限，故选D。误区二：忽略了“双曲线与坐标轴无交点”，导致出错例2如图，反比例函数和一次函数的图象交于点A（-2，），B（3，），请写出时x的取值范围。错解：x＜-2或x＜3纠错秘方：忽略了双曲线与y轴没有交点，故应满足0＜x＜3正解：x＜-2或0＜x＜3第六部分：方法规律常见题型以及解题关键总结如下：题型解题关键条件开放题满足题意的条件不唯一，具有开放性。结论开放题满足题意的结论不唯一，具有开放性。探索归纳题根据题目给出的条件，寻找一般规律性，然后借助规律解决问题。第8页共18页图表信息题（售价与销售量）从表格信息得到题目数量关系，找出定值，确定反比例关系后求解。图象信息题（一次函数与反比例函数交点）反比例函数的表达式的确定只需一个点，对于一次函数表达式的确定需要两个点。作图解答题按常规思路解答较复杂，通过画图象可巧妙地得出问题的答案，体现图象法的优越性。反比例函数在物理中的应用（力学、电学）学科间综合题，力学可用杠杆定律（阻力×阻力臂=动力×动力臂）解答，由反比例函数性质可知动力臂越长越省力。电学根据电线连接情况选择合适公式。实际生活问题确定直线解析式需要该直线上的两个点，而确定反比例函数解析式只需要该曲线上的一个点，两段图象的连结点是公共点。教材习题变式题通过“方程、函数、图象”之间的转化，揭示几何图形、方程与函数的密切联系，体现“数形结合”的思想。反比例函数的应用须注意以下几点：1、反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。2、针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。3、列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。第七部分：巩固练习1、根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p(pa)与它的体积v(m3)的乘积是一个常数k，即pv＝k(k为常数，k＞0)，下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是（）。2、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图17．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）．A．不小于54m3B．小于54m3C．不小于45m3D．小于45m33、已知反比例函数的图象经过点（a，b），则它的图象一定也经过（）A．(－a，－b)B．(a，－b)C．(－a，b)D．（0，0）图16第9页共18页4．在同一直角坐标平面内，如果直线y=k1x与双曲线xky2没有交点，那么k1和k2的关系一定是（）A．k1k2＝0B．k1k2＞1C．k1k2＞0D．k1k2＜05、在xy1的图象中，阴影部分面积不为1的是（）．6．已知1y+2y=y,其中1y与1x成反比例,且比例系数为1k,而2y与2x成正比例,且比例系数为2k,若x=-1时,y=0,则1k,2k的关系是()A.12kk=0B.12kk=1C.12kk=0D.12kk=-17、某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：x(元)3456y(个)20151210(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)的对应点；(2)猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；(3)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润?8、码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间．(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨／天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系?(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨第10页共18页货物?9．一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，经过6小时可到达乙地．(1)甲、乙两地相距多少千米?(2)如果汽车把速度提高到v(千米／时)那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变化?(3)写出t与v之间的函数关系式；(4)因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少?(5)已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间?10.某蓄水池的排水管道每小时排水8m3，6h可将满池水全部排空.（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），将满池水排空所需时间为t（h），求Q与t之间的函数关系式.（3）如果准备在5h内将满池水排空，那么每小时排水量至少为多少？（4）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少多长时间可将满池水排空？第11页共18页11.某打印店要完成一批电脑打字任务，每天完成75页，需8天完成任务