基于课本习题的一类高考试题的探究

基于课本习题的一类高考试题的探究一问题提出[题目]（2009年安徽文科14）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，且，其中，则=_________.本题主要依据平面向量的加法运算求解.，，所以,，，所以.问题可以进一步一般化，如取，取，，或者更一般的取，，相应的都可以得到以及的值.这类试题2009年之前考过，之后又多次在高考题和一些模拟题中出现.这类试题常考不衰“魅力”何在？问题中求出的仅仅是一个数字？有没有数学意义，如果有，那么它的数学意义是什么？它的“根”在哪里？二试题寻“根”新课标人教A版必修四第102页，习题B组第4题：如图2，设OX、OY是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与X轴、Y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.假设，（1）计算的大小；（2）由平面向量基本定理，本题中向量坐标的规定是否合理？【点评】如图3，根据平面向量基本定理，以平面内一组不共线的向量作基底，对平面内任一向量有且仅有惟一的有序实数对使得这样，对应于基底，向量就与惟一确定的有序实数对相对应！显然，规定有序数对为向量在坐标系中的坐标是合理的.如果一组基底是正交的，就是向量在直角坐标系下的坐标，如果不是正交基底，我们不妨把它称为基底下的“斜坐标”！至此，这类考试题的“根”就峥嵘再现！原来是“斜坐标（系）”问题！直角坐标系下的问题还是其特例，足见其“根”是相当的深！下面我们就对这个“根”的一些相关性质做一些探究（为表述方便，我们也把向量在斜坐标系下的坐标记为点P的坐标，文中类似情形不再一一说明）.三初步结论类比直角坐标系，根据平面向量基本定理，不难得到，基于基底（）下的斜坐标的一些结论，如结论1：点A、B的坐标分别是（1，0），（0，1）；结论2：如图4，向量所在直线把平面分成四个部分，在四个区域内点的坐标的符号与平面直角坐标系下的规律一致；在直角坐标系下，表示过点（1，0），（0，1）的一条直线，那么在斜坐标系下表示什么呢？由平面向量基本定理，易知，结论3：如图5，当且仅当点P分别位于直线AB、上时，依次满足方程、，也即直线AB、的方程分别为、；结论4：如图6，在斜坐标系中为一族平行直线，其中为直线在向量上的“截距”；结论5：如图7，向量正向所围成的区域被直线AB分割成两个部分（不含边界），其中，包含点O的区域内点的坐标满足，另一区域内点的坐标满足类似的，在直线分成的两个区域内，包含点O的区域内的点的坐标满足，另一侧点的坐标满足，…….结论6：……四在考题中的相关应用4.1符号问题【示例1】（2007年上海春季高考试题第13题）如图8，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界）.若，且点落在第Ⅲ部分，则实数满足A．B.C.D.【点评】直接利用结论2，答案选D；4.2范围问题【示例2】（2006湖南高考文科第10题）如图9：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是A．B.C.D.【点评】根据结论2，排除选项A；根据结论4排除选项B,D,所以答案为C；【示例3】（2006年湖南省高考理科第10题）如图10,,点在由射线,线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是_____;当时,的取值范围是___.【点评】由结论2，的取值范围是；由结论4、5，由射线,线段及的延长线围成的区域内(不含边界)点（x,y）满足，当时.【示例4】（2010年上海高考试题）设点是三角形内一点（不包括边界），且,,则的取值范围为AB.C.D.【点评】根据结论5有，，，根据线性规划的知识，作出如图12阴影部分，表示点P(0,2)到阴影内点的距离的平方，显然到点A(0,1)的距离最近，为1，到点B（1,0）的距离最远，这时=5，故选B.4．3截距问题回到开始提出的问题，令，求即在“斜坐标系”下求“斜率”为-1过点C的直线在向量上的“截距”.如图13，过点C作EF的平行线CG，交AF的延长线与G，则为直线CG在坐标轴AF上的“截距”，由，得到.【示例5】（2009安徽理科14）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120.如图14所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若，其中，则x+y的最大值是.【点评】x+y为过点C“斜率”为-1的直线的“截距”，如图15，显然，当且仅当过点C且垂直于直线OC的直线的“截距”最大，在中，=2，即x+y的最大值是2.【示例6】(湖北省八市2011三月调考理科试题)如图16，在直角梯形ABCD中，，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设，则的取值范围是ABCD【点评】令，则为在上的截距.显然只要考虑两个极限位置.与BD相切时=1，直线BD、EF的方程分别为，，两个截距分别为1,,故选D.【示例7】(2011届苏锡常镇扬五市高三调研测试)如图17，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为；【点评】如图18，过点A作向量,于是.基底向量固定，另一向量在与之间变动，令，则为过点C且平行于的直线在基底向量上的“截距”，显然与重合时，“截距”最小，这时,因为E为中点，所以；