周世勋量子力学习题解答第七章习题

7.1.证明：izyxˆˆˆ证：由对易关系zxyyxiˆ2ˆˆˆˆ及反对易关系0ˆˆˆˆxyyx，得zyxiˆˆˆ上式两边乘zˆ，得2ˆˆˆˆzzyxi∵1ˆ2z∴izyxˆˆˆ7.2求在自旋态)(21zS中，xSˆ和ySˆ的测不准关系：?)()(22yxSS解：在zSˆ表象中)(21zS、xSˆ、ySˆ的矩阵表示分别为01)(21zS01102ˆxS002ˆiiSy∴在)(21zS态中00101102)01(2121xxSS4010110201102)01(ˆ2222121xxSS4)(2222xxxSSS001002)01(ˆ2121iiSSyy401002002)01(ˆ2222121iiiiSSyy4)(2222yyySSS16)()(422yxSS讨论：由xSˆ、ySˆ的对易关系[xSˆ，ySˆ]zSiˆ要求4)()(2222zyxSSS16)()(422yxSS①在)(21zS态中，2zS∴16)()(422yxSS可见①式符合上式的要求。7.3.求002ˆ01102ˆiiSSyx及的本征值和所属的本征函数。解：xSˆ的久期方程为02220)2(22∴xSˆ的本征值为2。设对应于本征值2的本征函数为112/1ba由本征方程2/12/12ˆxS，得1111201102baba111111abbaab由归一化条件12/12/1，得1),(11*1*1aaaa即1221a∴212111ba对应于本征值2的本征函数为11212/1设对应于本征值2的本征函数为222/1ba由本征方程222/12/12ˆbaSx222222abbaab由归一化条件，得1),(22*2*2aaaa即1222a∴212122ba对应于本征值2的本征函数为11212/1同理可求得ySˆ的本征值为2。其相应的本征函数分别为i12121i121217.4求自旋角动量)cos,cos,(cos方向的投影cosˆcosˆcosˆˆzyxnSSSS本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量zSˆ有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？zSˆ的平均值是多少？解：在zSˆ表象，nSˆ的矩阵元为cos10012cos002cos01102ˆiiSncoscoscoscoscoscos2iiSn其相应的久期方程为0cos2)cos(cos2)cos(cos2cos2ii即0)cos(cos4cos42222220422)1coscoscos(222利用2所以nSˆ的本征值为2。设对应于2nS的本征函数的矩阵表示为baSn)(21，则babaii2coscoscoscoscoscos2bbiacos)cos(coscos1coscosib由归一化条件，得22**),(12121bababa1cos1coscos222aia1cos122a)cos1(2coscos1cos1)(21iSn)cos1(2coscos1cos1)(21iSn2121)cos1(2coscos2cos110)cos1(2coscos012cos1)(21iiSn2121)cos1(2coscos2cos110)cos1(2coscos012cos1)(21iiSn可见，zSˆ的可能值为22相应的几率为2cos12cos1)cos1(2coscos22cos22cos122cos12zS同理可求得对应于2nS的本征函数为)cos1(2coscos2cos1)(21iSn在此态中，zSˆ的可能值为22相应的几率为2cos12cos1cos2zS7.5设氢的状态是),()(23),()(2110211121YrRYrR①求轨道角动量z分量zLˆ和自旋角动量z分量zSˆ的平均值；②求总磁矩SeLeMˆˆ2ˆ的z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。解：ψ可改写成10),()(2301),()(2110211121YrRYrRzzSYrRSYrR(),()(23)(),()(21211021211121从ψ的表达式中可看出zLˆ的可能值为0相应的几率为41434zLzSˆ的可能值为22相应的几率2iC为414344324122ziizSCS)4(422eeSeLeMzzzBMe41427.6一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为i，j，则体系可能的状态为)()()(3211qqqiii)()()(3212qqqjjj)]()()()()()()()()([311322313213qqqqqqqqqjiijiijii)]()()()()()()()()([311322313214qqqqqqqqqijjijjijj7.7证明)3()2()1(,,SSS和A组成的正交归一系。解：)]()([)]()([22/112/122/112/1)1()1(zzzzSSSSSS)()()()(22/112/112/122/1zzzzSSSS1)()(22/122/1zzSS)]()([)]()([22/112/122/112/1)2()1(zzzzSSSSSS)()()()(22/112/112/122/1zzzzSSSS=0)]()()()([)]()([2122/112/122/112/122/112/1)3()1(zzzzzzSSSSSSSS)]()()()()()()()([2122/112/112/122/122/112/112/122/1zzzzzzzzSSSSSSSS]0)()([2122/122/1zzSS同理可证其它的正交归一关系。)]()()()([)]()()()([2122/112/122/112/122/112/122/112/1)3()3(zzzzzzzzSSSSSSSSSS)]()([)]()([2122/112/122/112/1zzzzSSSS)]()([)]()([2112/122/122/112/1zzzzSSSS)]()([)]()([2112/112/112/122/1zzzzSSSS)]()([)]()([2112/122/112/122/1zzzzSSSS12100217.8设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是2221)(rrU。如果电子之间的库仑能和)(rU相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程)()()()(22rErrUr)()(21)()(2222222222rErrrzyx)()(21)()(2222222222rErrrzyx考虑到2222zyxr，令)()()()(zZyYxXrEXYZXYZzyxXYZzyx)(21)(222222222222EzxZZyxYYxxXX)2112()2112()2112(222222222222222xExxXX)2112(22222yEyxYY)2112(22222zEzxZZ)2112(22222zyxEEEE)()(2221xHeNxXnxnn)()(2221yHeNyYmymm)()(2221zHeNzZz)()()()(2221zHyHxHeNNNrmnrmnnm)()()()(2221zHyHxHeNNNrmnrmnnm)(23mnEnm其中!22/1nNnn，对于基态0mn，10H22212/30000)()(rer对于沿χ方向的第一激发态01mn，，xxH2)1（22212/30000)()(rer22214/32/5100122)(rxer两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为))](()()([21),(2011211021rrrrrrS][)(211)(2122/342221222212rrrrexex)(21122/3422212)(rrexx)]()()()([21),(1120211021rrrrrrA)(21122/3422212)(rrexx而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即)3(S)2(S)1(S、、和A综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即独态：ASrr),(211三重态：)3(214)2(213)1(212),(),(),(SASASArrrrrr