圆锥曲线必考知识点总结及答案

1八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：（1）已知定点)0,3(),0,3(21FF，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A．421PFPFB．621PFPFC．1021PFPFD．122221PFPF（答：C）；（2）方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义已知点)0,22(Q及抛物线42xy上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（1）椭圆：（1）已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22）；（2）若Ryx,，且62322yx，则yx的最大值是____，22yx的最小值是___（答：5,2）（2）双曲线：（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214xy）；（2）设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线C过点)10,4(P，则C的方程为_______（答：226xy）（3）抛物线：3.圆锥曲线焦点位置的判断：椭圆：已知方程12122mymx表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：)23,1()1,(）4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（1）若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是__（答：3或325）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）（2）双曲线（1）双曲线的渐近线方程是023yx，则该双曲线的离心率等于______（答：132或133）；2（2）双曲线221axby的离心率为5，则:ab=（答：4或14）；（3）设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：[,]32）；（3）抛物线；设Raa,0，则抛物线24axy的焦点坐标为________（答：)161,0(a）；5．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：(-315,-1)）；（2）直线y―kx―1=0与椭圆2215xym恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；（2）过双曲线2222byax＝1外一点00(,)Pxy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。（1）过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：445,33）；（3）过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB4，则满足条件的直线l有____条（答：3）；（4）对于抛物线C：xy42，我们称满足0204xy的点),(00yxM在抛物线的内部，若点),(00yxM在抛物线的内部，则直线l：)(200xxyy与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）；（5）过抛物线xy42的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则qp11_______（答：1）；3（6）设双曲线191622yx的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于RQP,,，则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于)（答：等于）；（7）求椭圆284722yx上的点到直线01623yx的最短距离（答：81313）；（8）直线1axy与双曲线1322yx交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①3,3；②1a）；7、焦半径（1）已知椭圆1162522yx上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：353）；（2）已知抛物线方程为xy82，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_____（答：7,(2,4)）；（4）点P在椭圆192522yx上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答：2512）；（5）抛物线xy22上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______（答：2）；（6）椭圆13422yx内有一点)1,1(P，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使MFMP2之值最小，则点M的坐标为_______（答：)1,362(）；8、焦点三角形（1）短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F，过1F作直线交椭圆于A、B两点，则2ABF的周长为________（答：6）；（2）设P是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点，F1、F2是左右焦点，若0212FFPF，|PF1|=6，则该双曲线的方程为（答：224xy）；（3）椭圆22194xy的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF2→·PF1→0时，点P的横坐标的取值范围是（答：3535(,)55）；（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝26，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且AB是2AF与2BF等差中项，则AB＝__________（答：82）；（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且6021PFF，431221FPFS．求该双曲线的标准方程（答：221412xy）；9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：讲过了，不再重复10、弦长公式：（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（2）过抛物线xy22焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；11、圆锥曲线的中点弦问题：（1）如果椭圆221369xy弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：280xy）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)xyabab相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：22）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy4对称（答：213213,1313）；特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！13．动点轨迹方程：已知动点P到定点F(1,0)和直线3x的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：212(4)(34)yxx或24(03)yxx）；线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）)0(m，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：22yx）；(1)由动点P向圆221xy作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为（答：224xy）；（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线05xl：的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______（答：216yx）；(3)一动圆与两圆⊙M：122yx和⊙N：012822xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；动点P是抛物线122xy上任一点，定点为)1,0(A,点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：3162xy）；（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点P，使||||OPMN，求点P的轨迹。（答：22||xyay）；（2）若点),(11yxP在圆122yx上运动，则点),(1111yxyxQ的轨迹方程是____（答：2121(||)2yxx）；5（3）过抛物线yx42的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：222xy）；已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足.2||1aQF点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足.0||,022TFTFPT（1）设x为点P的横坐标，证明xacaPF||1；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=.2b若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.（答：（1）略；（2）222xya；（3）当2bac时不存在；当2bac时存在，此时∠F1MF2＝2）