椭圆性质练习题

第1页共4页椭圆性质练习题(2)1．离心率为32，长轴长为6的椭圆的标准方程是（）（A）22195xy（B）22195xy或22159xy（C）2213620xy（D）2213620xy或2212036xy2.动点P到两个定点1F（-4，0）.2F（4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为（）A.椭圆B.线段12FFC.直线12FFD.不能确定3.已知椭圆的标准方程22110yx，则椭圆的焦点坐标为（）A.(10,0)B.(0,10)C.(0,3)D.(3,0)4.已知椭圆22159xy上一点P到椭圆的一焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离是（）A.253B.2C.3D.65.如果22212xyaa表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围为（）A.(2,)B.2,12,C.(,1)(2,)D.任意实数R6.关于曲线的对称性的论述正确的是（）A.方程220xxyy的曲线关于X轴对称B.方程330xy的曲线关于Y轴对称C.方程2210xxyy的曲线关于原点对称D.方程338xy的曲线关于原点对称7.方程22221xykakb（a＞b＞0,k＞0且k≠1)与方程22221xyab（a＞b＞0)表示的椭圆（）.A.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴.长轴；D.有相同的顶点.8已知椭圆2222:1(0)xyCabab＞＞的离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)kk＞的直线与C相交于AB、两点．若3AFFB，则k()（A）1（B）2（C）3（D）29若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.54B.53C.52D.5110若点O和点F分别为椭圆22143xy的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为()A．2B．3C．6D．811椭圆222210xyaab＞b＞的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P第2页共4页满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是()（A）（0，22]（B）（0，12]（C）[21，1）（D）[12，1）12若直线yxb与曲线234yxx有公共点，则b的取值范围是()A.[122,122]B.[12,3]C.[-1,122]D.[122,3]二、填空题：（本大题共4小题，共16分.）13若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是14椭圆2214924xy上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角，则Rt△PF1F2的面积为.15已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且DFFB2，则C的离心率为.16已知椭圆22:12xcy的两焦点为12,FF,点00(,)Pxy满足2200012xy,则|1PF|+2PF|的取值范围为_______。三、解答题：(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17.（12分）已知点M在椭圆221259xy上，M'P垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为'P，并且M为线段P'P的中点，求P点的轨迹方程18.(12分)椭圆221(045)45xymm的焦点分别是1F和2F，已知椭圆的离心率53e过中心O作直线与椭圆交于A，B两点，O为原点，若2ABF的面积是20，求：（1）m的值（2）直线AB的方程19（12分）设1F，2F分别为椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点，过2F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60，1F到直线l的距离为23.（Ⅰ）求椭圆C的焦距；（Ⅱ）如果222AFFB,求椭圆C的方程.第3页共4页20（12分）设椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,2AFFB.(I)求椭圆C的离心率；(II)如果|AB|=154，求椭圆C的方程.21（12分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于13.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。22（14分）已知椭圆22221xyab（ab0）的离心率e=32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.（i）若42AB5||=，求直线l的倾斜角；（ii）若点Qy0（0，）在线段AB的垂直平分线上，且4QBQA.求y0的值.第4页共4页参考答案1.选择题：题号123456789101112答案BBCCBCABBCDD8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.910【解析】由题意，F（-1，0），设点P00(,)xy，则有2200143xy,解得22003(1)4xy，因为00(1,)FPxy，00(,)OPxy，所以2000(1)OPFPxxy=00(1)OPFPxx203(1)4x=20034xx，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x，因为022x，所以当02x时，OPFP取得最大值222364，选C。【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。11解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等第5页共4页而|FA|＝22abccc|PF|∈[a－c,a＋c]于是2bc∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴222222accacacacc1112caccaa或又e∈(0,1)故e∈1,12答案：D12若直线yxb与曲线234yxx有公共点，则b的取值范围是A.[122,122]B.[12,3]C.[-1,122]D.[122,3]二、填空题：（本大题共4小题，共16分.）13若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是14椭圆2214924xy上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角，则Rt△PF1F2的面积为.15已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF2FDuuruur，则C的离心率为.33【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.第6页共4页【解析1】如图，22||BFbca,作1DDy轴于点D1,则由BF2FDuuruur，得1||||2||||3OFBFDDBD,所以133||||22DDOFc,即32Dcx,由椭圆的第二定义得2233||()22accFDeaca又由||2||BFFD,得232,caaa33e【解析2】设椭圆方程为第一标准形式22221xyab，设22,Dxy，F分BD所成的比为2，222230223330;122212222ccccybxbybbxxxcyy，代入222291144cbab，33e16已知椭圆22:12xcy的两焦点为12,FF,点00(,)Pxy满足2200012xy,则|1PF|+2PF|的取值范围为_______。【答案】2,22,0【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时12max(||||)2PFPF，当P在椭圆顶点处时，取到12max(||||)PFPF为(21)(21)=22，故范围为2,22.因为00(,)xy在椭圆2212xy的内部，则直线0012xxyy上的点（x,y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.二.填空题：133514241533162,22,0三.解答题：17.解：设p点的坐标为(,)pxy，m点的坐标为00(,)xy，由题意可知xOyBF1DD第7页共4页000022yyxxxxyy①因为点m在椭圆221259xy上，所以有22001259xy②，把①代入②得2212536xy，所以P点的轨迹是焦点在y轴上，标准方程为2212536xy的椭圆.18.解：（1）由已知53cea，4535a，得5c，所以222452520mbac（2）根据题意21220ABFFFBSS，设(,)Bxy，则121212FFBSFFy，12210FFc，所以4y，把4y代入椭圆的方程2214520xy，得3x，所以B点的坐标为34（，），所以直线AB的方程为4433yxyx或19设1F，2F分别为椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点，过2F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60，1F到直线l的距离为23.（Ⅰ）求椭圆C的焦距；（Ⅱ）如果222AFFB,求椭圆C的方程.解：（Ⅰ）设焦距为2c，由已知可得1F到直线l的距离323,2.cc故所以椭圆C的焦距为4.（Ⅱ）设112212(,),(,),0,0,AxyBxyyy由题意知直线l的方程为3(2).yx联立2222422223(2),(3)4330.1yxabybybxyab得解得221222223(22)3(22),.33babayyabab因为22122,2.AFFByy所以第8页共4页即2222223(22)3(22)2.33babaabab得223.4,5.aabb而所以故椭圆C的方程为221.95xy20设椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,2AFFB.(III)求椭圆C的离心率；(IV)如果|AB|=154，求椭圆C的方程.解：设1122(,),(,)AxyBxy，由题意知1y＜0，2y＞0.（Ⅰ）直线l的方程为3()yxc，其中22cab.联立22223(),1yxcxyab得22224(3)2330abybcyb解得221222223(2)3(2),33bcabcayyabab因为2AFFB，所以122yy.即2222223(2)3(2)233bcabcaabab得离心率23cea.……6分（Ⅱ）因为21113AByy，所以22224315343abab.由23ca得53ba.所以51544a，得a=3，5b.椭圆C的方程为22195xy.……12分第9页共4页21（2010北京理数）（19）（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于13.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（I）解：因为点B与A(1,1)关于原点O对称，所以点