2332电大2017年最新高等数学基础期末考试复习试题及答案

1高等数学（1）学习辅导(一)第一章函数⒈理解函数的概念；掌握函数)(xfy中符号f()的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。⒉了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。若对任意x，有)()(xfxf，则)(xf称为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称。若对任意x，有)()(xfxf，则)(xf称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。掌握奇偶函数的判别方法。掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。基本初等函数是指以下几种类型：①常数函数：cy②幂函数：)(为实数xy③指数函数：)1,0(aaayx④对数函数：)1,0(logaaxya⑤三角函数：xxxxcot,tan,cos,sin⑥反三角函数：xxxarctan,arccos,arcsin⒋了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。如函数)1(arctan2exy可以分解uye，2vu，wvarctan，xw1。分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。⒌会列简单的应用问题的函数关系式。例题选解一、填空题⒈设)0(1)1(2xxxxf，则fx()。解：设xt1，则tx1，得tttttf2211111)(故xxxf211)(。⒉函数xxxf5)2ln(1)(的定义域是。解：对函数的第一项，要求02x且0)2ln(x，即2x且3x；对函数的第二项，要求05x，即5x。取公共部分，得函数定义域为]5,3()3,2(。⒊函数)(xf的定义域为]1,0[，则)(lnxf的定义域是。解：要使)(lnxf有意义，必须使1ln0x，由此得)(lnxf定义域为]e,1[。⒋函数392xxy的定义域为。2解：要使392xxy有意义，必须满足092x且03x，即33xx成立，解不等式方程组，得出333xxx或，故得出函数的定义域为),3(]3,(。⒌设2)(xxaaxf，则函数的图形关于对称。解：)(xf的定义域为),(，且有)(222)()(xfaaaaaaxfxxxxxx即)(xf是偶函数，故图形关于y轴对称。二、单项选择题⒈下列各对函数中，（）是相同的。A.xxgxxf)(,)(2；B.fxxgxx()ln,()ln22；C.fxxgxx()ln,()ln33；D.fxxxgxx(),()2111解：A中两函数的对应关系不同,xxx2，B,D三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以AB,D都不是正确的选项；而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C正确。⒉设函数fx()的定义域为(,)，则函数fxfx()()－的图形关于（）对称。A.y＝x；B.x轴；C.y轴；D.坐标原点解：设)()()(xfxfxF，则对任意x有)())()(()()())(()()(xFxfxfxfxfxfxfxF即)(xF是奇函数，故图形关于原点对称。选项D正确。3．设函数的定义域是全体实数，则函数)()(xfxf是（）．A.单调减函数；B.有界函数；C.偶函数；D.周期函数解：A,B,D三个选项都不一定满足。设)()()(xfxfxF，则对任意x有)()()()()())(()()(xFxfxfxfxfxfxfxF即)(xF是偶函数，故选项C正确。⒋函数)1,0(11)(aaaaxxfxx（）A.是奇函数；B.是偶函数；C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。)(11)1()1(11)()(xfaaxaaaaxaaxxfxxxxxxxx所以B正确。⒌若函数221)1(xxxxf，则)(xf（）A.2x；B.22x；C.2)1(x；D.12x。解：因为2)1(212122222xxxxxx所以2)1()1(2xxxxf则2)(2xxf，故选项B正确。3第二章极限与连续⒈知道数列极限的“N”定义；了解函数极限的描述性定义。⒉理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷小量的比较。无穷小量的运算性质主要有：①有限个无穷小量的代数和是无穷小量；②有限个无穷小量的乘积是无穷小量；③无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。⒊熟练掌握极限的计算方法：包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因子，利用无穷小量的运算性质，有理化根式，两个重要极限，函数的连续性等方法。求极限有几种典型的类型（1）aaxaxaxaaxaxaxakkkkxkkx21)())((limlim222020（2）1001002))((limlim00xxxxxxxxxxbaxxxxxx（3）mnmnbamnbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnxx00111011100lim0⒋熟练掌握两个重要极限：limsinxxx01lim()xxx11e（或lim()xxx011e）重要极限的一般形式：limsin()()()xxx01lim(())()()fxfxfx11e（或lim(())()()gxgxgx011e）利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如3133sinlimsinlim3133sinsin31lim3sinsinlim0000xxxxxxxxxxxxxx312122eee])11[(lim])21[(lim)11()21(lim1121lim)12(limxxxxxxxxxxxxxxxxxxx⒌理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。间断点的分类：已知点0xx是的间断点，若)(xf在点0xx的左、右极限都存在，则0xx称为)(xf的第一类间断点；4若)(xf在点0xx的左、右极限有一个不存在，则0xx称为)(xf的第二类间断点。⒍理解连续函数的和、差、积、商（分母不为0）及复合仍是连续函数，初等函数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。典型例题解析一、填空题⒈极限limsinsinxxxx021。解：010sinlim1sinlim)sin1sin(limsin1sinlim00020xxxxxxxxxxxxxxx注意：01sinlim0xxx（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）111sinlim1sin1limsinlim000xxxxxxxxx，其中xxxsinlim0=1是第一个重要极限。⒉函数0101sin)(xxxxxxf的间断点是x。解：由)(xf是分段函数，0x是)(xf的分段点，考虑函数在0x处的连续性。因为1)0(1)1(lim01sinlim00fxxxxx所以函数)(xf在0x处是间断的，又)(xf在)0,(和),0(都是连续的，故函数)(xf的间断点是0x。⒊⒋⒌⒍设23)(2xxxf，则ffx[()]。解：32)(xxf，故201842)32(3)32()]([22xxxxxff⒎函数)1ln(2xy的单调增加区间是。二、单项选择题⒈函数在点处（）．A.有定义且有极限；B.无定义但有极限；C.有定义但无极限；D.无定义且无极限解：)(xf在点处没有定义，但01sinlim0xxx（无穷小量有界变量=无穷小量）故选项B正确。⒉下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。A.e1xx,()；B.sin,()xxx；C.ln(),()11xx；D.xxx110,()解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以50sinlimxxx而A,C,D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。三、计算应用题⒈计算下列极限：⑴12423lim222xxxxx⑵xxxx)13(lim15510)2(12)32()1(lim)3(xxxx（4）xxx3sin11lim0解：⑴61)6)(2()2)(1(1242322xxxxxxxxxx12423lim222xxxxx=8161lim2xxx⑵431331e1ee])31[(lim])11[(lim)31()11(lim)31(lim)13(limxnxnxxnxnxnxxxxxxxx⑶题目所给极限式分子的最高次项为1551032)2(xxx分母的最高次项为1512x，由此得381232)2(12)32()1(lim15510xxxx（4）当0x时，分子、分母的极限均为0，所以不能用极限的除法法则。求解时先有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。)11(3sin11lim)11(3sin)11)(11(lim3sin11lim000xxxxxxxxxxxx=612131111lim3sin3lim31)11(3sinlim000xxxxxxxxx2.设函数0sin001sin)(xxxxaxbxxxf问（1）ba,为何值时，)(xf在0x处有极限存在？（2）ba,为何值时，)(xf在0x处连续？解：（1）要)(xf在0x处有极限存在，即要)(lim)(lim00xfxfxx成立。因为bbxxxfxx)1sin(lim)(lim00所以，当1b时，有)(lim)(lim00xfxfxx成立，即1b时，函数在0x处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以取任意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是1sinlim)(lim00xxxfxx6)()(lim)(lim000xfxfxfxxxx于是有afb)0(1，即1ba时函数在0x处连续。第三章导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点：⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。)(xf在点0xx处可导是指极限xxfxxfx)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限00)()(lim0xxxfxfxx函数)(xf在点0xx处的导数)(0xf的几何意义是曲线)(xfy上点))(,(00xfx处切线的斜率。曲线)(xfy在点))(,(00xfx处的切线方程为)())((000xfxxxfy函数)(xfy在0x点可导，则在0x点连续。反之则不然，函数)(xfy在0x点连续，在0x点不一定可导。⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法（1）导数的四则运算法则（2）复合函数求导法则（3）隐函数求导方法（4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法