华工高等数学统考试卷下2008

1578170340745共6页第1页高等数学下册试卷2009．7．1姓名：学院与专业：学号：一、填空题[共24分]1、[4分]函数,fxy在点,xy处可微是它在该点偏导数zx与zy连续的必要条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分条件（填必要、充分或充要）2、[4分]向量场2cosxyAeixyjxzk的散度为sin2xyyexxyxy.向量场2332Bzyixzjyxk的旋度为2,4,6.3、[4分]]设,,,zfxxyfuv有连续偏导数，则dz122fyfdxxfdy4、[4分]交换二次积分的积分次序2220,yydyfxydx402,xxdxfxydy5、[4分]设曲面为柱面221xy介于平面0z与1z部分的外侧，则曲面积分22xydxdy0，22xydS26、设3322,339,0fxyxyxyxx，则它有极小值1,05f二、[8分]设zexyz，求22zx解：两边取微分，得zedzxydzxzdyyzdx,zzxzdyyzdxyzdxxzdyedzxydzxzdyyzdxdzexyxyzxy从而zzxxzx，222211zzxzxzzxzzzxxxxxxxzxxz1578170340745共6页第2页22222322332222211221111zzzzxzzxzzzzxzzzzzxxxzxzxzxz三、[7分]设长方形的长x、宽y、高z满足1111xyz，求体积最小的长方体。解：令1111Lxyzxyz则2221110,0,0xyzLyzLxzLxyxyz，从而xyz再由0L即约束条件，可得11113xyz，从而3xyz由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。四、[7分]求球面2224xyz含在圆柱面222xyx内部的那部分面积解：上半球面的部分为22221:4,:2zxyDxyx2222222,,444xyxyzzdSdxdyxyxyxy112cos22220022288244rdrSdSdxdydxyr五、[7分]计算三重积分2xyzdv，其中.是由单位球面2221xyz围成的闭区域解：由对称性0xydvyzdvzxdv从而21222222000sinxyzdvxyzdvddrrdr1154000042sin2cos55rdrdr六、[7分]计算曲面积分23zxdydzxydzdxyzdxdy，其中是圆锥面22zxy位于平面0z和2z之间下方部分的下侧解：取221:2,:4zDxy上侧1578170340745共6页第3页则原式112131122223dvydxdydvydxdy2200sin2drrdr22223200008888832sinsin4cos43333333rrdd七[7分]计算曲线积分2Lydxxdyxy，其中L表示第四象限内以(0,1)A为起点(1,0)B为终点的光滑曲线。解：由于22432xyxxyxxyxxyxyxy，224321xyyxyyxyyxyxyxy从而只要路径不经过直线yx，该曲线积分就与路径无关取路径1,:01yxx，112200111Lydxxdyxxdxdxxy八、[7分]求微分方程3sin1cos0xxeydxeydy的通解解：cos3sin1xxyedydxye，cos3sin1xxyedydxyelnsin3ln1lnxyec，sin31xyce九、[7分]计算满足下述方程的可导函数yyx，0cos2sin1xyxxyttdtx解：原方程两端求导得cossin2sincossin1yxyxyxyxyx即sin1coscosxyyxx，这是标准的一阶线性微分方程sinsinlncoslncoscoscos11tancoscoscosxxdxdxxxxxyeeceecxcxxx1578170340745共6页第4页原方程令0x得1y，代入通解得1c，从而sincosyxx十、[6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设0a且ae，试根据a的值判定级数1!nnnnan的敛散性解：!nnnnuan，从而111111!limlimlim1!nnnnnnnnnnnuanenuannaa当1，即ae时，级数1!nnnnan收敛；当1，即0ae时，该级数发散十一、[6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设fx是周期为2的周期函数，它在[,)上的表达式为fxx，试将函数fx展开成傅立叶级数解：0110,cos0nafxdxafxnxdx，（奇函数在对称区间上积分）100001222sincoscoscos1nnbfxnxdxaxdnxxnxnxdxnnn从而1121sin,21nnfxnxxkn十二、[7分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设2112121!nnnxfxn，证明：fx满足微分方程4fxfx，并求fx解：222321222221,122!23!nnnnnnxxfxfxfxnn从而211241421!nnnxfxfxn而且00,02ff解初值问题4fxfx，00,02ff21,240,40,2fxfxrri，通解为12cos2sin2fxcxcx122sin22cos2fxcxcx，由初值条件：1220,22,1ccc，sin2fxx1578170340745共6页第5页十、[6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）求解初值问题2001yyxyy解：方程2yyx对应的齐次方程为0yy，它的特征方程为210r，特征根为1,2ri，从而对应通解为12cossinYcxcx容易看出2yyx的一个特解为*22yx，因此原方程的通解为212cossin2ycxcxx从而12sincos2ycxcxx，由初值条件可得123,1cc。因此23cossin2yxxx十一、[6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）设l是曲线22260xyzxyz在点1,2,1处的切向量，求函数,,fxyzxyyzzx在该点沿l的方向导数解：方程组22260xyzxyz两端对x求导，得222010xyyzzyz把1,2,1代入得12010yzyz，解得01yz，于是在点1,2,1处的切向量为1,,1,0,1tyz，单位切向量为11,0,22t所求方向导数为1,2,11111,0,,,,0,1,2,102222xyzfffft十二、[7]（化工类做，即不学级数一章的同学做）给定曲面,0,,,xaybFabczczc为常数，其中,Fuv有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点证：令,,,xaybGxyzFzczc，则1211,xyGFGFzczc222zaxbyGFFzczc1578170340745共6页第6页从而曲面在点,,xyz处的切平面为122220XxYyaxbyFFFFZzzczczczc，其中,,XYZ为动点。显然,,,,XYZabc时成立，故切平面均过,,abc。证毕