南京市2015届高三数学考前综合题(定稿)

第1页共18页南京市2015届高三数学考前综合题一、填空题1．数列{an}为等比数列，其前n项的乘积为Tn，若T2＝T8，则T10＝．【答案】1【提示】法一：由T2＝T8得a3·a4·…·a8＝1，则(a3·a8)3＝1，a3·a8＝1．从而T10＝a1·a2·…·a10＝(a1·a10)5＝(a3·a8)5＝1；法二：(特殊化思想)，取an＝1，则T10＝1．【说明】本题考查等比数列的运算性质．可一般化：{an}为正项等比数列，其前n项的乘积为Tn，若Tm＝Tn，则Tm＋n＝1；可类比：{an}为等差数列，其前n项的和为Sn，若Sm＝Sn，则Sm＋n＝0．(其中m，n∈N*，m≠n)．2．已知点P为圆C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0上的动点，点P到某直线l的最大距离为5．若在直线l上任取一点A作圆C的切线AB，切点为B，则AB的最小值是________．【答案】5．【提示】由P到直线l的最大距离为5，得圆心C到直线l的距离为3，从而直线l与圆C相离．过A引圆C的切线长AB＝AC2－r2＝AC2－4≥32－4＝5．【说明】点､直线与圆的相关问题常转化为圆心与点､直线问题．3．已知直线l：x－2y＋m＝0上存在点M满足与两点A(－2，0)，B(2，0)连线的斜率kMA与kMB之积为－34，则实数m的值是___________．【答案】[－4，4]．【提示】点M的轨迹为x24＋y23＝1(x≠±2)．把直线l：x＝2y－m代入椭圆方程得，16y2－12my＋(3m2－12)＝0．根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m≤4．【说明】求曲线方程的直接法，研究直线与椭圆位置关系中基本方法是方程思想．4．已知数列{an}为正项等差数列，满足1a1＋4a2k－1≤1(其中k∈N*且k≥2)，则ak的最小值为_________．【答案】92．第2页共18页【提示】因为{an}为正项等差数列，则ak＝a1＋a2k－12≥a1＋a2k－12·(1a1＋4a2k－1)＝12·(5＋a2k－1a1＋4a1a2k－1)≥12·(5＋2a2k－1a1·4a1a2k－1)＝92(当且仅当1a1＋4a2k－1＝1，且a2k－1a1＝4a1a2k－1，即a1＝3，a2k－1＝6时取“＝”号)．【说明】本题将等差数列的运算性质(等差中项)与基本不等式进行综合．5．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，BA·BC＝12，当角A最大时，△ABC面积为__________．【答案】3【提示】过A作AD⊥BC，垂足为D，则BA·BC＝|BA||BC|cosB＝BDBC＝3BD＝12，所以BD＝4，又BC＝3，所以CD＝1．设AD＝y(y＞0)，则tan∠BAC＝4y－1y1＋4y2＝3y＋4y≤34，且仅当y＝4y，即y＝2时取“＝”，由正切函数的单调性知此时∠BAC也最大．【说明】学会从向量的数量积处理的三种手法：定义法､基底法和坐标法中选择，本题用定义法最为简洁，用坐标法也可以得出同上结论，另由两个直角三角形拼接的平面图形，计算角的最值，可转化到直角三角形用两角和与差的正切来解决，体现了化归与转化的思想．6．计算：4sin20＋tan20＝．【答案】3．【提示】原式＝4sin20＋sin20cos20＝4sin20cos20＋sin20cos20＝2sin40＋sin20cos20＝2sin(60－20)＋sin20cos20＝3cos20－sin20＋sin20cos20＝3．【说明】切化弦､向特殊角转化､向单一的角转化是三角恒等变换(求值)的一般思路．7．设α是锐角，且cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为．【答案】17250【提示】因为α是锐角，所以π6＜α＋π6＜2π3，因为cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35．sin2(α＋π6)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，cos2(α＋π6)＝1－2sin2(α＋π6)＝725．ABCD第3页共18页sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin2(α＋π6)cosπ4－cos2(α＋π6)sinπ4＝2425×22－725×22＝17250．【说明】考查同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数，重点突出角之间的互化，设法将所求角转化为已知角，用已知角表示所求角．8．等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q＝3，an＋an＋1＋…＋am＝720(m，n∈N*，m＞n)，则m＋n＝．【答案】9．【提示】因为an＝2·3n－1，则an＋an＋1＋…＋am＝2·3n－1·(1－3m－n＋1)1－3＝3n－1·(3m－n＋1－1)＝720＝32×24×5，则n－1＝2m－n＋1＝4，解得n＝3，m＝6，则m＋n＝9．【说明】本题考查等比数列中的基本运算，涉及到简单的数论知识（整数的分解）．9．已知函数f(x)＝x＋4，x＜a，x2－2x，x≥a，若任意实数b，总存在实数x0，使得f(x0)＝b，则实数a的取值范围是．【答案】－5≤a≤4．【提示】“任意实数b，总存在实数x0，使得f(x0)＝b”等价于函数f(x)的值域为R．在平面直角坐标系xOy中，分别作出函数y＝x＋4及y＝x2－2x的图像，观察图像可知－5≤a≤4．【说明】本题要注意条件的等价转化．一般情况下涉及到分段函数的问题都要有意识的作出图像，运用数形结合的方法解决问题，学会从特殊值验证，再到一般结论的发展．10．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是．【答案】（－∞，－2）【提示】解法一：若a＝0，解得x＝±33，不合题意．若a＞0，则f(－1)＝－a－2＜0，f(0)＝1＞0，所以f(x)存在负的零点，不合题意．若a＜0，则f′(x)＝3ax(x－2a)，可得f(2a)＝1－4a2为极小值，则满足1－4a2＞0，解得a＞2或a＜－2．此时，取得a＜－2．综上，a的取值范围是（－∞，－2）．解法二：f(x)＝0，即ax3＝3x2－1，分离参数a＝3x－1x3，同样可得a＜－2．第4页共18页【说明】考查零点概念、零点存在性定理；函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，学会利用导数来研究函数的图象和性质．11．设函数f(x)＝lnx＋mx，（m∈R），若对任意b＞a＞0，f(b)－f(a)b－a＜1恒成立，则m的取值范围是．【答案】[14，＋∞）．【提示】对任意的b＞a＞0，f（b）－f（a）b－a＜1恒成立，等价于f(b)－b＜f(a)－a恒成立．函数h(x)＝f(x)－x＝lnx＋mx－x在(0，＋∞)是单调减函数，即h′(x)＝1x－mx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m≥－x2＋x＝－(x－12)2＋14（x＞0）恒成立，解得：m≥14．所以m的取值范围是[14，＋∞）．【说明】考查求常见函数的导数，利用导数研究函数的单调性，会用分离常数的方法来研究不等式恒成立问题，不等式、方程、函数三者之间相互转化是高考考查的重点，要培养用函数的观点来研究不等式、方程的意识，体现数形结合思想．二、解答题1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知tanA＝13．设向量x＝(3a，cosA)，y＝(2c，cosC)，且x∥y．（1）若b＝5，求c2－a2的值；（2）求B的值．解：（1）因为x∥y，所以3acosC＝2ccosA．用余弦定理代入，化简可得：b2＝5(c2－a2)．因为b＝5，所以c2－a2＝1．（2）因为3acosC＝2ccosA，由正弦定理得：3sinAcosC＝2sinCcosA，即3tanA＝2tanC．因为tanA＝13，所以tanC＝12，从而tanB＝－tan(A＋C)＝－tanA＋tanC1－tanAtanC＝－1．因为B∈(0，π)，所以B＝3π4．【说明】考查向量的平行，正弦、余弦定理，两角和与差的正切公式．能够根据题目的要求正确实现边角互化．2．三角形ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，面积为S．（1）若AB→·AC→≤23S，求A的取值范围；第5页共18页（2）若tanA∶tanB∶tanC＝1∶2∶3，且c＝1，求b．解：（1）由题意知，AB→·AC→＝bccosA，S＝12bcsinA，所以bccosA≤3bcsinA，即cosA≤3sinA，（或也可根据cosA的正负，转化为关于tanA的不等式）．即3sinA－cosA≥0，2sin(A－π6)≥0．因为A为三角形内角，则A－π6∈(－π6，5π6)，所以0≤A－π6＜5π6，从而A∈[π6，π)．（2）设tanA＝m，tanB＝2m，tanC＝3m，由题意知，m＞0．因为tanC＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanA·tanB，则3m＝－3m1－2m2，解得m＝1，则tanB＝2，tanC＝3，从而sinB＝255，sinC＝31010，所以ACAB＝sinBsinC＝223，则AC＝223．【说明】本题第（1）问考查数量积､三角形面积公式､两角和差公式及简单的三角不等式．第（2）问的目的是考查斜三角形三内角A，B，C满足的一个恒等式(tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC)．还可联想到一类求值问题(两角和差正切公式的变形)，如tan37＋tan23＋3tan37·tan23等问题．3．某高速公路收费站出口处依次有编号为1､2､3､4､5的五个收费窗口．（1）若每天随机开放其中的3个收费窗口，则恰有两个相邻窗口开放（如：1，2，4）的概率是多少?（2）经统计，在某个开放的收费窗口处排队等侯的车辆数及相应概率如下：排队车辆数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04①该收费窗口处至多有2辆车排队等侯的概率是多少?②该收费窗口处至少有3辆车排队等侯的概率是多少?解：（1）记事件A为“开放3个收费窗口，恰有两个相邻窗口开放”，用(i，j，k)表示编号分别为i，j，k的三个收费窗口开放．则本题的基本事件包括：(1，2，3)，(1，2，4)(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10个基本事件；而事件A包括：(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)，共6个基本事件．因此P(A)＝610＝35．第6页共18页答：随机开放其中三个收费窗口，恰有两个相邻窗口开放的概率为35．（2）记事件Bi为“该收费窗口处有i辆车排队等侯”，其中i＝0，1，2，3，4，5．则由题意知，上述6个事件为互斥事件．记事件C为“该收费窗口处至多有2辆车排队等侯”，事件D为“该收费窗口处至少有3辆车排队等侯”．则P(C)＝P(B0＋B1＋B2)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56，P(D)＝P(B3＋B4＋B5)＝P(B3)＋P(B4)＋P(B5)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．（另解：由题意知事件C，D为对立事件，则P(D)＝P(－C)＝1－P(C)＝0.44）答：该收费窗口处至多2辆车排队等侯的概率为0.56，至少3辆车排队等侯的概率为0.44．【说明】本题考查古典概型和互斥事件的概率计算，主要要注意规范表述．4．如图，四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，三角形BCD为正三角形．（1）当∠BAD＝π3时，设AC→＝xAB→＋yAD→，求x，y的值；（2）设∠BAD＝α，则当α为多少时，四边形ABCD的面积S最大，并求出最大值．解：（1）在△ABD中，由于AB＝2，AD＝1，∠BAD＝π3，易得BD＝3，∠ABD＝π6，∠ADB＝π2，∠ABC＝π2，∠ADC＝5π6．下面提供三种解法：法一：如图，过点C作CE//AD交AB于点E，在△BCE中，BC＝3，∠ABC＝π2，∠BEC＝π3，则CE＝2，BE＝1，则AE＝