博弈论第三章

3非完全信息静态博弈3.1理论:静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡例不对称信息(asymmetricinformation)下的古诺竞争市场中有两个企业。市场需求:P(Q)=a–Q,Q=q1+q2.企业1成本:C1(q1)=cq1.企业2成本:以概率取C2(q2)=cHq2，以概率1–取C2(q2)=cLq2。企业2的产量依赖于成本:max[(a-q1*-q2)-cH]q2和max[(a-q1*-q2)-cL]q2企业1选择q1max[(a-q1-q2*(cH))-c]q1+(1–)[(a-q1-q2*(cL))-c]q1一阶条件(a-q1*-cH)–2q2*(cH)=0(a-q1*-cL)–2q2*(cL)=0{[(a-q2*(cH))-c]+(1-)[(a-q2*(cL))-c]}-2q1*=0解出q2*(cH)=32ccaH+61(cH-cL)q2*(cL)=32ccaL–6(cH-cL)q1*=3)1(2LHccca比较完全信息下的古诺模型qi*=(a-2ci+cj)/3静态贝叶斯博弈的标准式表示参与人的类型空间T1,…,Tn;参与人i类型:tiTi其他人不知道ti，但知道ti的分布。参与人i的推断pi(t-i|ti).参与人的行动空间A1,…,An;参与人i收益:ui(a1，…，an；ti)n个参与人的静态贝叶斯博弈(staticBayesiangame)的标准式表示,G={A1,…,An;T1,…,Tn;p1,…,pn;u1,…,un},不对称信息下的古诺博弈:T1={c},T2={cL，cH}2(q1，q2；cL)=[(a-q1-q2)-cL]q22(q1，q2；cH)=[(a-q1-q2)-cH]q21(q1，q2；c)=[(a-q1-q2)-c]q1用时间顺序描述静态贝叶斯博弈(1)自然产生一个类型向量t=(t1，…，tn)(2)自然向参与人i显示ti;(3)参与人同时选择行动(4)各人得到收益.参与人i的战略:si(ti)Ai贝叶斯纳什均衡:s*=(s1*，…，sn*)满足maxui*[s1*(t1),…,si-1*(ti-1),ai,si+1*(ti+1),…,sn*(tn);t]pi(t-i|ti)3.2应用例1信息不完全的性别战帕特歌剧拳击歌剧2+tc，10，0克丽斯拳击0，01，2+tp类型空间:Tc=Tp=[0,x]tp和tc为[0,x]上的均匀分布.推断（密度函数）:pc(tp)=pp(tc)=1/x直觉:分别存在临界值c与p：当tcc时，克丽斯选择歌剧,否则选择拳击.当tpp时，帕特选择拳击,否则选择歌剧.克丽斯的期望收益看歌剧：xp(2+tc)+(1–xp)×0=xp(2+tc)看拳击：xp×0+(1–xp)=1–xp选择歌剧最优xp(2+tc)1–xp即tcpx–3因此临界值c=px–3帕特的期望收益看拳击：(1–xc)×0+xc(2+tp)=xc(2+tp)看歌剧：(1–xc)+xc×0=1–xc由选择拳击最优tpcx-3临界值p=cx-3解得p=c和p2+3p–x=0.克丽斯选择歌剧的概率1-xc=xcx=1–xx2493帕特选择拳击的概率1-xp=xpx=1–xx2493当x→0时，1–xx2493→1–31例2拍卖（anauction）第一价格密封拍卖（First-price,sealed-bid）两个投标人.i对物品的估价:vi,独立，[0,1]上的均匀分布类型空间:Ti=[0,1]收益vi–biifbibjui(b1,b2;vi,v2)=(vi–bi)/2ifbi=bj0ifbibj战略，即报价:bi(vi)贝叶斯纳什均衡(bi(vi),bj(vj))满足max(vi–bi)Prob{bibj(vj)}+21(vi–bi)Prob{bi=bj(vj)}.求线性战略bi(vi)=ai+civi,问题为max(vi–bi)Prob{biaj+cjvj}其中Prob{biaj+cjvj}=Prob{vjjjicab}=jjicab参与人i的最优行动满足–jjicab+jiicbv=0即有bi(vi)=2avji由估价与报价的关系：0bivi，得到aj=0因此bi(vi)=vi/2例3双向拍卖(Adoubleauction)一个买者和一个卖者,分别提出价格pb,ps如果pbps,则以p=(pb+ps)/2交易;否则不交易.他们的估价为私人信息，vb和vs,独立，为[0,1]上均匀分布.买者收益ub=vb–pifpbps=0ifpbps卖者收益us=p–vsifpbps=0ifpbps战略pb(vb),ps(vs)贝叶斯纳什均衡(pb(vb),ps(vs))满足maxpb(vb–2)](|)([ssbssbvppvpEp)Prob{pbps(vs)}maxps(2])(|)([sbbbbspvpvpEp–vs)Prob{pb(vb)ps}(1)单一价格均衡:以预先决定的x成交。如果vbx，pb=x;否则pb=0.如果vsx，ps=x;否则ps=1.vb交易xxvs如果vbvs，交易就是有效率的，但不一定会进行交易。（2）线性均衡假设卖者的战略ps(vs)=as+csvs,则ps(vs)是区间[as，as+cs]上的均匀分布,E[ps(vs)|pb≥ps(vs)]=2bspa（区间[as,pb]的中点）Prob{pbps(vs)}=ssbcap买方的问题max[vb–21{pb+2bspa}]ssbcap从一阶条件解出pb=32vb+31as假设买者的战略pb(vb)=ab+cbvb,卖者的问题max[21{pb+2bbscap}–vs]ssbbcpca从一阶条件解出ps=32vs+31(ab+cb)比较系数，得到cs=32,cb=32,ab=121,as=41均衡战略pb(vb)=32vb+121ps(vs)=32vs+41ppspbv由交易条件pbps,有vbvs+41有部分有效的交易未发生。vb交易xvs3.3显示原理第一价格拍卖：在线性报价方式下，每个人的报价是他的估价的一半，bi(vi)=vi/2。第二价格拍卖：出价最高者获得购买，但是按第二高的出价交易。贝叶斯纳什均衡：每个人按自己的估价报价，即bi(vi)=vi不同的拍卖方式，参与人的报价方式不同。直接机制：每个人给出自己的类型（不一定是真实的）。激励相容：每个人给出自己的真实类型。显示原理：任何贝叶斯博弈的任何贝叶斯纳什均衡，都可以重新表示为一个激励相容的直接机制。如对第一价格拍卖的规则作修改：报价最高者获得购买权，但是按他的报价一半交易。在线性报价方式下，每个人的报价：bi(vi)=vi。