几何与代数总复习

总复习张小向线性代数与解析几何一.行列式二.矩阵三.向量四.线性方程组五.二次型六.在几何中的应用内容提要一.行列式几何与代数总复习一.行列式行列式定义性质计算方程组秩秩极大无关组线性相关性特征多项式伴随矩阵逆矩阵应用克拉默法则面积/体积矩阵向量组叉积/混合积几何几何与代数总复习一.行列式行列式的定义低阶一般一阶递推公式1221()12(1)nnjjjjjnjNaaa2211()12(1)nniiNiiiniaaa排列组合a11A11+a12A12+…+a1nA1na11A11+a21A21+…+an1An1数二阶三阶对角线法则行列式的性质几何与代数总复习一.行列式性质1.互换行列式中的两列,行列式变号.推论.若行列式D中有两列完全相同,则D=0.性质2.(线性性质)(1)det(1,…,kj,…,n)=kdet(1,…,j,…,n);(2)det(1,…,j+j,…,n)=det(1,…,j,…,n)+det(1,…,j,…,n).几何与代数总复习一.行列式推论.若行列式D中有两列元素成比例,则D=0.性质3.把行列式的某一列的k倍加到另一列上去,行列式的值不变.a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1na21…(a2i+ka2j)…a2j…a2n…………………an1…(ani+kanj)…anj…ann=a11…a1i…a1j…a1na21…a2i…a2j…a2n…………………an1…ani…anj…ann+a11…ka1j…a1j…a1na21…ka2j…a2j…a2n…………………an1…kanj…anj…ann几何与代数总复习一.行列式性质4.设A,B为同阶方阵,则|AB|=|A||B|.性质5.设A方阵,则|AT|=|A|.注:根据方阵的性质5,前面几条关于列的性质可以翻译到行的情形.例如:性质1’.互换行列式中的两行,行列式变号.注(1)若A为n阶方阵(n1),且|A|=a,则|A*||A|=|A*A|=|aE|=an.注(3)|P1AP|=|P1||A||P|=|P|1|A||P|=|A|.注(2)若A可逆,则|A1||A|=|A1A|=|E|=1,因而|A1|=|A|1.定理1.n阶行列式D等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.即D=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n=…=an1An1+an2An2+…+annAnn=a11A11+a21A21+…+an1An1=a12A12+a22A22+…+an2An2=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.几何与代数总复习一.行列式几何与代数总复习一.行列式性质6.n阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的代数余子式乘积之和为零.即ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(ij)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(ij).几何与代数总复习一.行列式5.升阶.3.按某一行(列)展开—降阶.4.递推/归纳.行列式的计算1.二,三阶行列式—对角线法则.2.利用初等变换化为三角形或分块三角形.AOCB=|A||B|.ACOB=|A||B|,几何与代数总复习二.矩阵二.矩阵矩阵运算分块运算初等变换线性方程组向量空间应用标准形规范形正定性向量组秩线性表示线性相关性二次型特征值特征向量相似秩齐次非齐次线性变换坐标变换基变换几何与代数总复习二.矩阵运算前提条件定义性质加法A+BA与B是同类型的对应元素相加A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);A+O=A;A+(A)=O数乘kAk是一个数用k乘A的每一个元素k(lA)=(kl)A;(k+l)A=kA+lA;k(A+B)=kA+kB;(1)A=A乘法ABA的列数=B的行数(aij)ml(bij)ln=(cij)mncij=(AB)C=A(BC);A(B+C)=AB+AC;(A+B)C=AC+BC;(kA)B=k(AB)幂AmA是方阵,m是正整数A1=A,Ak+1=AkAAkAl=Ak+l;(Ak)l=Akl转置AT无(aij)mlT=(aji)lm(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT;(kA)T=kAT;(AB)T=BTAT多项式f(A)A是一个方阵,f(x)=asxs+…+a1x+a0f(A)=asAs+…+a1A+a0IA=()f(A)=f(),A=(),f(A)=Of()=0行列式|A|A是一个方阵,|A1|=|A|1逆矩阵A1A是一个方阵且|A|0若AB=BA=I则B=A1唯一性,(A1)1=A,(A1)m=(Am)1,(AT)1=(A1)T,(kA)1=k1A1,(AB)1=B1A1,满秩,特征值01nikkjkab矩阵的运算几何与代数总复习二.矩阵行矩阵A1n:只有一行,又名行向量.列矩阵An1:只有一列,又名列向量.零矩阵:每个元素都是0,常记为Omn或O.初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换所得.方阵:行数=列数.对称矩阵:AT=A.对角矩阵:diag{1,2,…,n},常用表示.数量矩阵:kE,kI,其中k为常数.单位矩阵:主对角线元素都是1,其余元素都是0,常记为E或I.反对称矩阵:AT=A.正交矩阵:QTQ=QQT=E.正定矩阵:AT=A且x有xTAx0.可逆矩阵:AB=BA=E.几何与代数总复习二.矩阵矩阵的乘积向量组之间的线性表示(系数矩阵)线性变换的合成(z=By=BAx)二次型的矩阵表达式(f(x)=xTAx)不满足消去律结合律的妙用不满足交换律线性方程组的矩阵表达式(Ax=b)两组基之间的联系(过渡矩阵)有非平凡的零因子应用定义性质(T)k(P1AP)k向量的内积(,=T)实际问题(背景)几何与代数总复习二.矩阵值得注意的现象:(1)AB和BA未必相等.(4)“AB=O”推不出“A=O或B=O”.(5)“AB=AC且AO”推不出“B=C”.(2)(AB)2和A2B2未必相等.(3)(A+B)2和A2+2AB+B2未必相等,(A+B)(AB)和A2B2未必相等.例如:(10)02=0=(10)03,但,0203又如:=100000020000,10000003=.00020003但几何与代数总复习二.矩阵逆矩阵n阶方阵A可逆的充要条件定义:AB=BA=I存在方阵B使AB=I存在方阵B使BA=I|A|0Ax=只有零解Ax=b有唯一解秩(A)=nA的行(列)向量组线性无关A与I相抵(等价)A为有限多个初等矩阵的乘积A的特征值全非零计算A1利用伴随矩阵利用初等变换(A1)1=A唯一性(A1)m=(Am)1(AT)1=(A1)T(kA)1=k1A1(AB)1=B1A1|A1|=|A|1若A可逆,则秩(AB)=秩(B)秩(CA)=秩(C)是A的特征值1是A1的特征值n阶可逆矩阵的性质几何与代数总复习二.矩阵设A可逆,则A可以经过有限次初等行变换化为行最简形——单位矩阵E.A…E(AE)…(E?)P1(AE)P2P1(AE)Pl-1…P2P1(AE)PlPl-1…P2P1(AE)P1AP2P1APl-1…P2P1APlPl-1…P2P1A(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1)?=A1几何与代数总复习二.矩阵设A可逆,则A可以经过有限次初等行变换化为行最简形——单位矩阵E.下面用初等变换解矩阵方程AX=B.注意到X=A1B.(AB)…(E?)P1(AB)P2P1(AB)Pl-1…P2P1(AB)PlPl-1…P2P1(AB)(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1B)?=A1B=X分块矩阵初等行变换几何与代数总复习二.矩阵加法逆矩阵乘法数乘转置行列式用初等行变换求A1(A,E)(E,A1)解AX=B(A,B)(E,A1B)Ax=b的增广矩阵(A,b)向量组矩阵矩阵的相似标准形(Jordan标准形)矩阵的等价标准形Emn(r)分块矩阵运算应用几何与代数总复习二.矩阵矩阵的分块运算转置A=A11…A1t………As1…AstAT=A11…A1tA1t…AstTTTT……加法数乘逆矩阵行列式乘法几何与代数总复习二.矩阵矩阵的分块运算行列式其中A,B都是方阵.也未必成立,例如ACOB=|A||B|,AOCB=|A||B|,但即使A,B,C,D都是方阵,ACDB=|A||B||C||D|0010000110000100=1000000100100100=1000010000100001=1.A1At分块对角矩阵的行列式=|A1|…|At|.加法数乘乘法逆矩阵转置几何与代数总复习二.矩阵矩阵的分块运算逆矩阵若A1,…,At都是可逆方阵A1At1.=A1At11(不必是同阶的),则加法数乘乘法转置行列式几何与代数总复习二.矩阵与初等矩阵的联系解矩阵方程求逆矩阵可逆性解线性方程组求L(1,…,s)的基和维数求矩阵的秩保矩阵的秩求合同标准形求极大无关组矩阵的初等变换求向量组的秩性质分类初等行变换初等列变换线性方程组的初等变换来源应用几何与代数总复习二.矩阵矩阵的秩最高阶非零子式的阶数行向量组的秩列向量组的秩r(A)=r(AT)A与B等价r(A)=r(B)P与Q可逆r(A)=r(PAQ)max{r(A),r(B)}r(A,B)r(A)+r(B)A与B相似r(A)=r(B)A与B合同r(A)=r(B)r(A+B)r(A)+r(B)r(A)+r(B)nr(AsnBnt)r(A),r(B)不等式等式行空间的维数列空间的维数定义几何与代数总复习二.矩阵特征值和特征向量|E–A|=|E–(P1AP)|i=tr(A),i=|A|A可逆A的特征值全不为零,此时A=A1=1|E–A|=|E–AT|A=f(A)=f()对应于不同特征值的特征向量线性无关AT=AR且对应于不同特征值的特征向量正交性质应用计算定义相似对角化用A=P1P计算Ak化二次型为标准形|E–A|=0(E–A)x=0A=其中几何与代数总复习二.矩阵相似矩阵反身性,对称性,传递性A~BAB(相抵/等价)A~B|A|=|B|A~Br(A)=r(B)A~B多项式f(A)~f(B)A~B|E–A|=|E–B|性质A与B相似(A~B):存在可逆阵P使P1AP=BA~Btr(A)=tr(B)定义相似对角化Ann有n个不同的特征值Ann~对角阵Ann~对角阵A有n个线性无关的特征向量实对称矩阵一定可以正交相似对角化几何与代数总复习矩阵之间的三种等价关系相抵(又称等价)相似相合(又称合同)定义设A,B为两个mn矩阵,若A可经过有限次初等变换化为B,即存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得PAQ=B,则称A与B相抵(等价).设A,B为两个n阶方阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得P1AP=B,则称A与B相似.设A,B为两个n阶方阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得PTAP=B,则称A与B相合(合同).不变量秩秩,特征多项式,特征值,迹,行列式一般情况:秩实对称矩阵:正惯性指数二.矩阵几何与代数总复习相抵(等价)相似相合(又称合同)标准形/规范形若mn矩阵A的秩为r,则其相抵标准形为一般情况:Jordan矩阵若A有n个线性无关的特征向量,则其相似标准形为:其中1,2,…,n为A的全部特征值.若A为实对称矩阵,则其相合标准形为:若A为实对称矩阵,则其相合规范形为:其中p+q=秩(A).A与单位矩阵相抵A可逆|A|0…A与单位矩阵E相似A=EA与单位矩阵