函数及其性质.

1.2函数及其表示初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数.其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值的集合叫做函数的值域.高中是怎么定义函数概念的？请进入本节课的学习！观察下列三个实例有什么不同点和共同点？1.炮弹的射高与时间的变化关系问题一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律为:h=130t-5t2.探究点1函数的概念这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系h=130t-5t2,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.2.南极臭氧层空洞面积与时间的变化关系问题近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.如下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.由图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B={S|0≤S26}.并且，对于数集A中的每一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.3.“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.如下表所示“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数情况.(恩格尔系数=食物支出金额/总支出金额)时间(年)19911992199319941995199619971998199920002001城镇居民恩格尔系数（﹪）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况三个实例有什么共同点和不同点？不同点实例1是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例2是用图象刻画变量之间的对应关系，实例3是用表格刻画变量之间的对应关系.共同点（1）都有两个非空数集.（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系.函数的相关概念设A，B是___________，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的____________，在集合B中都有_____确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从_____________的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中，x叫做_______，x的取值范围A叫做函数的_______；与x的值相对应的y值叫做_______，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_____.非空的数集任意一个数x唯一集合A到集合B自变量定义域函数值值域注意(2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应.(3)构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系(f：A→B).(1)A，B是非空数集.函数概念中的关键词判断下列对应能否表示y是x的函数（1）y=|x|（2）|y|=x（3）y=x2（4）y2=x(1)能(2)不能(3)能(4)不能关注是否一个自变量的值仅对应一个函数值想一想初中各类函数的对应关系、定义域、值域分别是什么？函数对应关系定义域值域正比例函数反比例函数一次函数二次函数ykx(k0)2yaxbxc(a0)ky(k0)xykxb(k0)R{x|x0}RR{y|y0}224acba0{y|y}4a4acba0{y|y}4a时,时,RRy=x与是同一函数吗？2xyx提示：不是，定义域不同探究点2相等函数思考1：思考2:两个函数相等与表示自变量和函数值的字母有关吗？提示：因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量是无关紧要的，如f(x)=3x+4与f(t)=3t+4表示相等函数.例2下列函数中哪个与函数y=x相等()A.B.C.D.2y(x)33yx2yx2xyxB如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等（或为同一函数）关注函数的三要素设a，b是两个实数，而且ab.我们规定：探究点3区间的概念⒈满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为_______.⒉满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为_______.⒊满足不等式a≤xb或ax≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为_________________，这里的_________都叫做相应区间的端点.[a，b](a，b)[a，b），（a，b]实数a与b集合表示区间表示数轴表示{x|a＜x＜b}(a,b){x|a≤x≤b}[a,b]{x|a≤x＜b}[a,b){x|a＜x≤b}(a,b]{x|x＜a}(-∞,a){x|x≤a}(－∞,a]{x|x＞b}(b,+∞){x|x≥b}[b,+∞){x|x∈R}(－∞,+∞)。。ab..ab.。ab。a。b.a.b数轴上所有的点ba。.青春是有限的，智慧是无穷的，趁短暂的青春，学习无穷的智慧。上节课我们学习了函数，都学习了哪些知识？你都理解了吗？学习不可浅尝辄止哦！（三）复合函数的定义域fx0,2,f(2x1).已知的定义域为求的定义域02x1213x22例3解:由题意知:13:f(2x1){xx}.22故的定义域是特别提醒：对于抽象函数的定义域，在同一对应关系f下，括号内整体的取值范围相同.2115已知的定义域为求的定义域(,],().fxfx32x19,解：由题意知:f(x)3,9.的定义域为1x5,【变式练习】探究点2函数的值域例4求下列函数的值域.(1)yx12(2)yx4x6,x[1,5]x0x11yx1[1,).:的值域解是2y(x2)2x1,52y11{y|2y11}配方，得函数的值域是解：求函数的值域，应先确定定义域，遵循定义域优先原则，再根据具体情况求y的取值范围.配方法观察法注意你能求出下列函数的值域吗？2yx2x1（）x1yx3（）x3)33y1x3x3（30,y1.x3解：yy1.∴函数的值域为222u2x1,u0,1u1ux,yu,221yu1.2yx2x11[,).2设则且于是即故函数的值域为解：分离常数法换元法解：探究点3函数对应关系例5已知f(x+1)=2x+3，你能求出f(-1)吗？tx1,xt1,令则f(t)2(t1)32t1.换元法求解析式注意换元的等价性，即要求出t的取值范围f(1)2(1)11.∴f(x)=2x+14.求下列函数的值域(3)y2xx12(1)yx2x3,xR5x42yx1（）2,yy515,8人生就是攀登！让我们背负着命运给予的重载，艰苦跋涉，攀登上一个又一个品德、情操、知识的高峰吧！1.2.2函数的表示法探究点1解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法优点:①函数关系清楚、精确；②容易从自变量的值求出其对应的函数值；③便于研究函数的性质。解析法是中学研究函数的主要表达方法。222:60,,(0)StAryaxbxca如p===++?探究点2列表法观察下面的表格，思考下列问题(a，b，c∈R):1.上述表格表示y是x的函数吗？提示：是.根据函数的定义知，对x每取一个确定的值，y都有唯一的值与之相对应，因此y是x的函数.xabcy0002.所有的函数都能用列表法来表示吗？提示：并不是所有函数都能用列表法来表示，如函数y=2x+1,x∈R.因为自变量x∈R不能一一列出，所以不能用列表法来表示.列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.如：平方表，平方根表，汽车、火车站的里程价目表、银行里的“利率表”等。优点:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.探究点3图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.如：一次函数y＝kx＋b(k＜0、b＞0)的图象是一条直线；yOx优点：能形象直观地表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础.图象法可以较好反映函数的哪些要素？定义域，值域下图是我国人口出生率变化曲线．例1某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).xx1,2,3,4,5笔记本数x12345钱数y510152025y5x,x1,2,3,4,5解：这个函数的定义域是数集｛1,2,3,4,5｝列表法表示如下：用图象法可将函数表示为右图：用解析法表示为函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。作函数图象时应注意的事项:(1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图;(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.【提升总结】1.画出下列函数的图象:(1)(2)f(x)2x,xR,x2且；f(x)x2,(xN,x3);且1212Oyx4422解：（1）（2）【变式练习】2.某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：行进的站数x123456789票价y0.50.50.51111.51.51.5此函数关系除了用列表法表示之外，能否用其他方法表示？解：0.5,x{1,2,3},y1,x{4,5,6},1.5,x{7,8,9}.把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫函数的解析式，简称解析式.探究点4求函数解析式二、求函数解析式的常用方法有：1.待定系数法2.换元法(构造法)3.消元法一、函数的解析式:例3已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x－1，求f(x)的解析式.解：设f(x)=kx+b（k≠0）则f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x－12k4kbb1则有k2k21b1b3或1f(x)2xf(x)2x13或待定系数法适合：已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数解析式.已知二次函数f(x)的图象过点A(0，－5)，B(5,0)，其对称轴为x＝2，求其解析式．[解析]因为抛物线的对称轴为x＝2，所以设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋k(a≠0)．把(0，－5)、(5,0)分别代入上式得－5＝4a＋k0＝9a＋k，解得a＝1k＝－9，所以解析式为y＝(x－2)2－9.【变式练习】例4已知2f(x1)x2x2，求f(x).解：则令t=x+1,x=t-122∴ft=t-1+2t-1+2=t+12fx=x+1适合：已知f(g(x))的解析式,求f(x).换元法例5已知，求f(x).13()2()(0)fxfxxx13()2()113()2()fxfxxffxxx解：由32()(0)55xfxxx解得消元法适合:同时含有1f(x)f()f(x)f(x).x与，或与的表达式3.已知求f(x)的解析式.2f(x)2f(x)3xx,22f(x)2f(x)3xxf(x)2f(x)3xx21fxx3x.3解：时间应分配得精密，使每年、每月、每日和每小时都有它的特殊任务。第2课时分段函数及映射某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床位每天的租金）不超过100元时，床位可以全部租出，当床位高于100元时，每提高10元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要