几何直观与空间几何的区别

对几何直观的认识与教学思考摘要：《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出在数学教学中要初步形成几何直观，强调了几何直观在学生建立数学概念、解决问题过程中的地位和作用。让学生懂得利用几何图形表征数学概念、性质和分析、解决数学问题是数学学习中最常用的，也是最有效的方法之一，并能把这种方法实践于学习中。关键词：直观几何直观解决问一、对几何直观的认识《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出在数学教学中要初步形成几何直观，强调几何直观在学生建立数学概念、解决实际问题过程中的地位和作用。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”具体说来，几何直观是学生通过几何学习，在掌握几何图形的结构特征、空间关系以及度量的基础上，学会建立和操作平面或空间内物体的心智表征，形成准确感知和洞察客观世界的能力；能从空间形式和关系的角度对现实问题进行抽象和推理论证的能力。正如弗莱登塔尔所说，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”这也与康德的“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的”观念是相同的。徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。比如，代数里的列方程解决行程问题，在思考的时候，经常画出一个示意图，一条线代表一段路程，什么时间走到哪儿，另外一个人从另一个方向什么时间走到哪儿。这个示意图就是一个直观的模型，它帮助我们思考。比如，要说明三角形内角和是180°，你会任意画一个三角形，联系平角是180°的直观印象，想办法怎么把这3个角适当地搬搬家变成一个平角，这一思维的过程中也利用了直观。需要强调的是，几何直观是指利用图形来阐释数学对象的含义，不能简单地把所有的直观手段都看做几何直观。二、几何直观的价值追求1.借助几何图形，理解数学概念。人们在认识和理解抽象数学概念的过程中往往要使用视觉形象来表征数学问题，以便更加直观、清晰地了解知识的实质和关键，达到理解和接受抽象的数学内容和方法的目的。在数学教学中，由于学生受到知识经验和思维水平的影响和限制，经常会遇到一些很难用语言解释清楚的概念或性质，这时，图形直观往往会成为非常有效的表达工具。小学数学中的大多数概念、性质、法则等数学知识都可以利用几何图形来帮助理解。例如，五年级下册的《分数的意义》教材呈现了四幅图要求用分数表示涂色部分，引导学生直观地理解分数的意义。2.借助几何图形，分析数学问题。几何直观是创造性思维能力的体现，在科学发现的过程中起到不可磨灭的作用。很多数学问题的解决，其灵感往往来源于几何直观，人们总是力求把要研究的问题尽量变成可用几何直观呈现的问题，借助具体可感的几何形象来加强学生对信息及其关系的理解，帮助他们从整体上把握问题，提示问题的转化方法，从而获得真正的解题思路。正如波利亚所说，图形不仅是几何题目的对象，而且对于几何一开始没什么关系的题目，图形也是一种重要的帮手。从某种意义上说，几何直观对启迪学生解题策略的作用时显而易见的。解题过程中，个体借助示意图或线段图来表征数学问题情景的成分和结构，达到对数学问题结构的理解，并进而为解题者提供一些未经解释或只要通过形式转换就可以被察觉和使用的信息，以约束认知活动的范围，促进问题的解决。例如，下图是纯文字叙述的问题的几何直观表征，学生借助图形很容易发现解决问题的思路，充分体会到画示意图分析数学问题对探寻解题思路的重要作用。3.借助几何图形，探索数学规律。抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，为学生创造了一个主动思考的机会。学生能够从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历数学发现的过程。例如，苏教版教材安排一道思考题引导学生发现多边形的内角和。在探索这一数学规律时，我们可以先出示正方形和长方形，让学生计算长方形和正方形的内角和，学生很容易发现它们的内角和是360°。继而，可以提问：那么一般的四边形的内角和是多少度呢？有规律吗？学生猜测可能也是360°，并说可以画一个任意四边形，想办法算一算。结果有的学生量了四个内角相加后发现是360°，有的把这个任意四边形的对角线相连，刚好把它分成了两个三角形，所以四边形的内角和是360°。从这一案例的教学中可以看出，长方形和正方形图为学生计算四边形内角和提供了预测的基础，而将四边形转化成三角形计算内角和则是几何直观在解决问题的过程中的运用。学生在解决问题时，往往会习惯性地对问题作出直觉的猜测，也正是因为这种直觉或猜想以及追求真理的愿望，引领学生展开进一步的探究，并最终解决问题。因此，数学教学要充分发挥几何直观在解决问题过程中的作用，注意引导学生经历利用几何直观把复杂问题转化成简单问题的过程，特别是一些可以利用直观来解决的问题，不必急于给出解决问题的方法，而要鼓励学生借助直观提出猜想或猜测，并尽可能地找出解决问题的方法或直接利用直观手段来解决问题，从而帮助学生不断积累利用直观手段进行思考的经验，发展几何直观的能力和解决问题的能力。三、培养几何直观能力的教学策略1.重视数与形的有机结合。数与形是数学研究的基本对象。华罗庚先生说：“形缺数时难入微，数缺形时少直观。”借助形的知识研究数的问题，可以使问题变得更加直观，也容易发现不同的解决问题的方法。例如，苏教版六年级下册“转化的策略”中安排了一道计算题：实际教学时，可以分两个层次展开，培养几何直观能力。第一层次：指导看图，学会转化。呈现算式后，教师可以给学生一些思考的时间和空间，学生一般会应用通分的方法，转化成同分母分数进行计算。这时，教师可以鼓励学生思考其他的方法，当学生思维受阻时，出示直观图，引导学生把各个分数在直观图中表示出来，让学生在画示意图的过程中，体悟计算的简便方法。第二层次：让学生继续在图上分下去，写出算式并进行计算。2.重视文字与图形的合理互译。在数学学习过程中，有一些以文字形式呈现的问题可以翻译成符号语言或者图形语言，以帮助学生更好地理解问题，探索解决问题的思路。例如，教学“倒推的策略”，让学生解决下面的问题：王大妈有一些鸡蛋，第一天卖出全部鸡蛋的一半多2个，还剩16个鸡蛋，王大妈原来有多少个鸡蛋？很多学生往往会这样解决：（16-2）×2。可以启发学生画出如下的示意图：在画图的基础上，引导学生将题目中的数量关系与直观图形的意义对应起来，找到正确的解题思路，初步体会示意图对解决问题的作用。列式解答后，让学生看图解释每一步算式的含义，再一次借助图形直观阐释数量关系的含义，理解列式的依据。学生在这一过程中也能体会几何直观的价值。经常性地利用图形描述文字信息，利用直观表征抽象的数学概念，有助于学生积累更丰富的几何直观的经验。感悟思想，数学教学的理性追求摘要：教师对学科数学认识的窄化、功利化，是数学教学枯燥乏味的重要成因。把握数学基本思想尤为重要。教学中，教师必须认真研读和整体把握教材，挖掘数学基本思想并使之明朗化；必须悉心演绎课堂，适时点化学生，使之经历知识“再创造”，充分感悟数学思想；必须实施反思性、实践性作业，促使学生在活学活用中内化、积淀数学思想。关键词：数学思想显化点化内化让学生领悟数学思想的魅力，感受数学思想的力量，理应成为数学教师的教学诉求。作为数学教师，要从潜心研读数学教材、悉心演绎课堂、创新作业形式等途径引导学生感悟、内化和积淀数学基本思想。一、潜心研读教材，显化数学思想小学数学教材中蕴涵了丰富的数学思想。如果说数学知识是写在教材上的一条明线，那么数学思想就是隐含其中的一条暗线。明线容易理解，暗线不易看明。教师只有领悟并掌握数学思想方法，才能从整体上、本质上理解教材，只有深入挖掘教材中的数学基本思想，才能科学地、灵活地设计教学方法，使学生领悟、把握数学基本思想。苏教版六年级上册“用假设的策略解决实际问题”例2是“鸡兔同笼”问题，教材是这样呈现的：首先用图示的方法，引导学生想一想、画一画；然后采用列表的方法，引导学生逐层逼近；最后使用问句的形式，引导学生打开思维另辟蹊径。我认为这部分教材至少蕴涵了三种数学思想：其一，几何直观的思想，“鸡兔同笼”问题对于小学生而言是比较抽象的，如果能够将抽象的数量关系借助于直观的图形显现出来，可以降低思维的难度，促进学生的理解。其二，函数的思想，张景中教授认为小学阶段有三种重要的数学思想，函数思想首当其冲。教材引导学生列表，从假设全部是大船开始，然后调整大船的只数，最终得出结果。其实，这里的大船只数就是自变量，而小船只数和坐船的人数就是因变量，体现了函数思想。其三，假设的思想，这也是数学中重要的思想。无论是画图、列表，还是解方程都离不开它。当然，如果细究下去还有其他的一些数学思想，如区间套思想、逐步逼近思想等等，这里不再赘述。数学基本思想的感悟不可能毕其功于一役，而应通过多种形式反复出现，促使学生逐步感悟。譬如分类的思想，在数学各个内容领域中都有所渗透，教师要有意识地将隐藏在文本背后的思想挖掘和显现出来。如“数与代数”部分涉及：数可以分为负数、0和正数，自然数可分为奇数和偶数，分数可以分为真分数和假分数等。“图形与几何”部分涉及：0°到180°的角可以分为锐角、直角和钝角，三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，平面图形可以分为由曲线围成的图形和由线段围成的图形。“统计与概率”部分涉及：分类整理统计，事件发生的可能性可分为一定、可能和不可能三种情况。对于这些，教师要通盘考虑，整体把握，引导学生就为什么要分类，如何确立分类的标准，怎么分类进行追问，促使学生逐步感悟分类思想的深刻内涵。二、悉心演绎课堂，点化数学思想对于数学基本思想，学生不可能像吃饼那样一口一口地吞下去，需要场境的催化和灵感的不期而至。教师要善于做“砸向牛顿的苹果”，促使学生深入思考，豁然开朗，从而把握数学的本质与核心。在概念的生成处点化。数学概念往往是剥离了生活的感性材料，抽象概括出其数和形的本质特征。史宁中教授认为数学基本思想包括抽象、推理、建模这三类，抽象解决了数学的入口问题。如果仅仅局限于告诉学生几个数学概念，那么对于学生数学思想的形成是不利的，甚至是有害的。因此，在教学中，我们必须让学生充分经历概念是如何从生活现实走向数学现实，实现数学化的过程。譬如《圆的认识》一课，我是这样引导学生利用聚化思维实现数学抽象的。先依次出现几种能形成圆的方法：第一个层次，教师用圆规在黑板上画一个圆，学生在自己的草稿本上画一个圆，比较两者的共同点，明白画圆要先固定一个点，再拉开圆规两脚，最后旋转一周。第二个层次，视屏观看在操场上画一个更大的圆。其一是体育老师以自己为中心用灰勺旋转一周画一个圆；其二是固定绳子一端，拉直绳子，旋转一周形成一个圆，追问：如果要画得更大，可以怎么办？再次比较这两种画圆方法的共同点。第三个层次，画出无形的圆，其一是用一根一端系着小球的绳子甩动一周，想一想小球走过的路线是什么；其二是观察时钟上秒针旋转一周针尖留下的痕迹，再将这一层次的画法与前两个层次进行比较。在这三个层次的基础上，聚焦分析：这三种方法都画出了一个圆，他们有什么共同的地方？进而揭示出圆的三个要素：定点、定长、旋转一周。就这样，不断去除圆的非本质属性，直逼知识的核心部分，学生对于圆的认识逐步清晰和深刻。在思维的伸展处点化。《面积是多少》是苏教版五年级下册的内容，它是学生从学习长方形、正方形面积到学习其他平面图形面积的过渡。这部分内容既起着桥梁的作用，又渗透着转化、区间等重要的数学思想。如果能把这部分内容教扎实、教透彻，对于面积的学习至关重要。下面我以计算银杏树叶的面积为例，谈谈自己的教学。首先，教师放手让学生估计，并追问其方法；其次，引导学生思考树叶面积的范围，即最少是整格的个数，最多是将所有不足一格的都当成整格来计数；再次，研究