函数与方程及函数的应用练习

函数与方程及函数的应用1．如图为4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是()A．①y＝x13，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x12，④y＝x－1D．①y＝x13，②y＝x12，③y＝x2，④y＝x－12．(2013·宁夏质检)设函数f(x)＝log2x，x0，log12（－x），x0.若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)3．设函数y＝f(x)在R上有意义，对于给定的正数M，定义函数fM(x)＝f（x），f（x）≤MM，f（x）M，则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M＝1，则fM(0)的值为()A．2B．1C.2D．－24．(2013·哈尔滨第一次联合模拟考试)已知函数f(x)＝a·2x，x≤0，log12x，x0.若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－∞，0)∪(0，1)C．(0，1)D．(0，1)∪(1，＋∞)5．(2012·高考江西卷)如图所示，|OA|＝2(单位：m)，|OB|＝1(单位：m)，OA与OB的夹角为π6，以A为圆心，AB为半径作圆弧BDC与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB行至点B，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BDC行至点C后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA行至点A后停止．设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)＝0)，则函数y＝S(t)的图象大致是()6．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnx，x0的零点个数为________．7．(2013·福建省普通高中毕业班质量检测)若函数f(x)＝2x－a，x≤0lnx，x0有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．8．设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M(M⊆D)，有x＋l∈D，且f(x＋l)≥f(x)，则称函数f(x)为M上的l高调函数．现给出下列命题：①函数f(x)＝(12)x是R上的1高调函数；②函数f(x)＝sin2x为R上的π高调函数；③如果定义域为[－1，＋∞)的函数f(x)＝x2为[－1，＋∞)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，＋∞)．其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)．9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．10．(2013·昆明质检)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：月用水量x(吨)34567频数13332请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：月用水量x(吨)1234567频数10201616151310据此估计该地“节约用水家庭”的比例．11．(2013·湖南省五市十校高三第一次联合检测)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－a2，3a2c2b，求证：(1)a0，且－3ba－34；(2)函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点；(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则2≤|x1－x2|574.答案：1．【解析】选B.可以根据图象对应寻求函数，故选B.2．【解析】选C.由题意可得a0log2a－log2a或a0，log12（－a）log2（－a），解得a1或－1a0，故选C.3．【解析】选B.由题意，令f(x)＝2－x2＝1，得x＝±1，因此当x≤－1或x≥1时，fM(x)＝2－x2；当－1x1时，fM(x)＝1，所以fM(0)＝1，故选B.4．【解析】选B.若a＝0，当x≤0时，f(x)＝0，故f(f(x))＝f(0)＝0有无数解，不符合题意，故a≠0.显然当x≤0时，a·2x≠0，故f(x)＝0的根为1，从而f(f(x))＝0有唯一根，即为f(x)＝1有唯一根．而x0时，f(x)＝1有唯一根12，故a·2x＝1在(－∞，0]上无根，当a·2x＝1在(－∞，0]上有根可得a＝12x≥1，故由a·2x＝1在(－∞，0]上无根可知a0或0a1.5．【解析】选A.由题意知，当0＜t≤1时，甲从O向B移动，乙从O向A移动，则t时刻，|OB|＝t，|OA|＝2t，此时S(t)＝12·|OB|·|OA|sinπ6＝12t2，此段图象为抛物线；当t＞1时，设圆弧半径为r，甲从B沿圆弧移动到C后停止，乙在A点不动，则此时S(t)＝12×1×2·sinπ6＋12·r·3(t－1)＝3r2t＋1－3r2，此段图象为直线，当甲移动至C点后，甲、乙均不再移动，面积不再增加，选项B中开始一段函数图象不对，选项C中后两段图象不对，选项D中前两段函数图象不对，故选A.6．【解析】当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零点．【答案】27．【解析】当x0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，因为02x≤20＝1，所以0a≤1，所以实数a的取值范围是0a≤1.【答案】(0，1]8．【解析】对于①，∵x∈R，∴x＋1∈R.又f(x)＝(12)x在R上是减函数，∴(12)x＋1(12)x，即f(x＋1)f(x)．∴①错．对于②，∵x∈R，∴x＋π∈R.∴f(x＋π)＝sin2(x＋π)＝sin2x＝f(x)．∴②正确．对于③，∵f(x)＝x2为[－1，＋∞)上的m高调函数，∴f(x＋m)≥f(x)即(x＋m)2≥x2，∴2mx＋m2≥0对于x∈[－1，＋∞)恒成立．∴m0m≥（－2x）max或m0m≤（－2x）min.∴m≥2，即③正确．∴正确命题是②③.【答案】②③9．【解】(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.∴函数f(x)的零点为3和－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．∴b2－4a(b－1)0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a0恒成立，所以有(－4a)2－4(4a)0⇒a2－a0，所以0a1.因此实数a的取值范围是(0，1)．10．【解】(1)y关于x的函数关系式为y＝2x，0≤x≤4，4x－8，4x≤6，6x－20，x6.(2)由(1)知：当x＝3时，y＝6；当x＝4时，y＝8；当x＝5时，y＝12；当x＝6时，y＝16；当x＝7时，y＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为112(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)．(3)由(1)和题意知：当y≤12时，x≤5，所以“节约用水家庭”的频率为77100＝77%.据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.11．【证明】(1)由已知得f(1)＝a＋b＋c＝－a2，∴3a＋2b＋2c＝0，又3a2c2b，∴a0，b0.又2c＝－3a－2b，∴3a－3a－2b2b，∵a0，∴－3ba－34.(2)由已知得f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，①当c0时，f(0)＝c0，f(1)＝－a20.∴函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点；②当c≤0时，f(1)＝－a20，f(2)＝a－c0，∴函数f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点．综上所述，函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．(3)∵x1，x2是函数f(x)的两个零点，∴x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca＝－32－ba，∴|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（－ba）2－4（－32－ba）＝（ba＋2）2＋2，∵－3ba－34，∴2≤|x1－x2|574.