函数的最大值和最小值_教案

浙江汽车职业技术学院高等数学课教案NO11授课班级13级高级工数控加工班授课日期课题模块一课题三:最大值与最小值的问题课时1课型新授课教学目标1.培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题.2.掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤.3.提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．教学重难点4.重点：（1）培养学生的探索精神,积累自主学习的经验.（2）会求闭区间上的连续函数的最大值和最小值．难点：(1)发现闭区间上的连续函数f(x)的最值只可能存在于驻点处或区间端点处.(2)理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．教具多媒体，粉笔，教案，教师工作手册，教科书.编制人日期检查人日期抽查日期摘要占用日期1.组织教学2.创设情境，铺垫导入3.合作学习，探索新知4.指导应用，鼓励创新5.归纳小结，反思建构6.布置作业教学环节教学内容设计意图一、组织教学一，课前准备。二，点名。二、创设情境，铺垫导入1．问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图,将一块边长为60cm的正方形铁皮，从四个角截去同样的小正方形，然后把四边折起来，成为一个无盖的方盒，方盒底边边长为多少时,方盒的容积最大?最大的容积是多少?提示：此题关键是建立方盒底面边长与容积的函数关系，将实际问题转化为数学模型。解：设方盒底边边长为x,体积为V．箱高为：箱子容积为：V=x2h(60,0)2．引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值．以实例引入新课，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生用数学的意识，．通过图象,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．实际问题中，将这个实际问题转化为求函数在闭区间上的最值问题．这时学生经思考后会发现，以前学习过的知识不能解决这一问题，从而激发起学生的学习热情．260xh26032xx二、合作学习，探索新知1．我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．2．如图为连续函数f(x)的图象：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别在何处取得？yxOyxOyxOyxObabababa3．以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的关键是什么？归纳：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f(x)在［a,b］内的极值；（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．在确定实际问题的最值问题时，如果所求得的驻点唯一，则函数的最大值或最小值就在该驻点处取得．所以以上问题情境正确解法如下：V´=60x－3x²/2令V´=0，得x=40,x=0(舍去)在［0,60］内只有唯一的驻点x=40而V(40)=16000cm3当x=40cm时,容积最大为16000cm3通过对已有相关知识的回顾和深入分析，自然地提出问题：闭区间上的连续函数最大值和最小值在何处取得？如何能求得最大值和最小值？以问题制造悬念，引领着学生来到新知识的生成场景中．为新知的发现奠定基础后，提出教学目标，让学生带着问题走进课堂，既明确了学习目的，又激发起学生的求知热情．为让学生更好地进行发现，教学中通过改变区间位置，引导学生观察同一函数在不同区间内图象上最大值最小值取得的位置，形成感性认识，进而上升到理性的高度．学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作．在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力．教学环节教学内容设计意图)40(23xx三、指导应用，鼓励创新例1.求函数y=2x+cos2x在区间[0，]上的最大值与值．分析：在(a,b)内解方程f′(x)=0,但不需要判断是否是极值点,更不需要判断是极大值还是极小值．设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤可以改为：（1）求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．解：y′=2-2sin2x,则令y′＝0，即2-2sin2x=0,在[0，]上得x=4,所以f(4)=2又因为f(0)=1,f()=2+1,所以：ymax=2+1,ymin=1例2设有电动势为E，内阻为r的电源，向可变外电阻R供电，要使R获得的功率最大，求R的值。解：由焦耳定理：全电路欧姆定律根据求最值步骤得：所以得唯一驻点R=r当R=r时，可变外电阻获得最大功率“问起于疑，疑源于思”，数学最积极的成分是问题，提出问题并解决问题是数学教学的灵魂．例1的目的是优化导数法求最大、最小值的解题过程，培养学生的学以致用，提高学生分析和解决问题的能力．使得问题的解决更简单明快，更易于操作，更容易被学生所接受．．例题2的解决与本专业的电子电工这门课相联系，继续巩固用导数法求闭区间上连续函数的最值，同时培养学生用数学的意识去解决其他学科的相关问题22rRE教学环节教学内容设计意图IRrERIP222)(rRERP3222222220)(r'rRERrRERERrRERP)0(RrREI32)(2rRRE32)()(rRRrE0三、指导应用，鼓励创新课堂练习：制作一圆柱形有盖铁桶，其容积是,其底半径与高的比例应是多少时，才能使所需铁片最省。解：设高为h,底半径为r,表面积为s．四、归纳小结，反思建构课堂小结：1．在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值;2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;3．利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为零的点的判定．.作业布置：通过课堂小结，深化对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力．课外作业分必做题与选做题，因材施教、及时反馈，让不同的学生在数学上得到不同的发展．同时有利于教师发现教学中的不足，及时反馈调节．【教学设计说明】本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数教学环节教学内容设计意图知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的一个具体体现，整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以“是否存在？存在于哪里？怎么求？”为线索展开．1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能动性．3．为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．4．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．