初中数学函数部分知识点复习

第1页共9页初三数学复习：函数及其图象知识点整理设计:泰兴市黄桥初中马京城日期：2011-3-6一、平面直角坐标系1、在平面内，有__________________________的两条数轴，组成平面直角坐标系注意1)坐标平面内的点与________________一一对应2）坐标轴上的点不属于任何象限。2、不同位置点的坐标的特征：1）坐标轴上点的特征：x轴上点的纵坐标为0，一般记为P（___，___）；x轴可写成直线y=0，y轴上点的横坐标为0，一般记为Q（___，___）；y轴可写成x=0，2）各象限内点的坐标的特征：第一象限：（___，___）；第二象限：（___，___）；第三象限：（___，___）；第四象限：（___，___）；3、点P（x，y）坐标的几何意义：1）点P（x，y）到x轴的距离是____；2）点P（x，y）到y轴的距离是____；3）点P（x，y）到原点的距离是____;4、关于坐标轴、原点对称的两点坐标的特征1）点P（a，b）关于x轴的对称点P1（___，___）；2）点P（a，b）关于y轴的对称点P2（___，___）；3）点P（a，b）关于原点的对称点P3（___，___）；5、同一数轴上两点间距离，（1）x轴上两点A（x1，0），B（x2，0）则AB=|x1-x2|；（2）y轴上两点C（0，y1），D（0，y2），则CD=|y1-y2|。6、过P（a，b）平行于x轴的直线可写成y=b，平行于y轴的直线可写成x=a，第一、三象限的两轴角平分线y=x；第二、四象限的夹角平分线y=-x。二、函数的概念1、常量在某问题的研究过程中，保持不变的量叫做常量。变量在某问题的研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量。2、函数一般地，设在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值y都有唯一的值和它相对应，那么说y是x的函数，x为自变量，y是因变量。函数值如果变量y是自变量x的函数，即y=f（x），那么当x在定义域内取每一个确定的值，如x=a时，变量y都有惟一确定的值与它对应，这个对应值叫做自变量取确定值a时的函数值，通常用记号f（a）来表示函数的图像对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标第2页共9页和纵坐标，在直角坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图像。3、函数常用表示方法：解析式，列表法，图像法4、函数图像的画法由函数解析式画函数的图像，一般按下列步骤进行。（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：用表中的对应值作为坐标，在直角坐标平面内描出相应的点；（3）连线：用光滑的曲线，按照自变量由小到大的顺序，把所描的点连接起来。在描点时，描出的点越多，图像越精确，实际上，一般不可能把所有的点都描出来，只能用光滑的曲线连接描出的一些点，从面得到函数的近似图像。注意：画图象应在自变量取值范围内画5、自变量取值范围：（1）整式时自变量取全体实数；（2）分式时分母不为零；（3）二次根式中被开方数是非负数；（4）a0，a-p中a≠0；（5）使实际问题有意义.求自变量取值范围时考虑应周密：例如y=x+0)2(1xx＋x－2中x＞0且x≠2几个常见的函数（一）．正比例函数1、函数__________（k≠0的常数）叫做正比例函数2、正比例函数的图像：①正比例函数y=kx（k≠0的常数）的图像是经过坐标原点和（1，_____）的一条直线，也叫做直线y=kx②根据两点确定一条直线的规律，在画正比例函数的图像时，除了取原点以处，只需另外再取一个点就可以了，一般取符合解析式的整点（即横坐标和纵坐标都是整数的点）描起来较方便。如画函数xy21的图像时，分别取点（0，0）和（2，-1），然后描点、连线即可。3、正比例函数的性质正比例函数y=kx（k≠0的常数）有如下的性质：①当k＞0时，它的图像在第_________象限内，y随x的增大而_________；②当k＜0时，它的图像在第_________象限内，y随x的增大而_________。4、函数的性质应结合它的图像来理解（二）一次函数1、函数y=_______（_______常数，_______≠0）叫做一次函数当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数k≠0），这时y是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特殊情况。第3页共9页2、一次函数的图像①一次函数的图像是经过点（0，_______）且平行于直线y=kx的一条直线，一次函数y=kx+b的图像也叫做直线y=kx+b。直线y=kx+b与y轴相交于点（0，b）②两条直线L1:y=k1x+b1，L2:y=k2x+b2，如果k1=k2，b1≠b2，那么L1∥L2，反之也成立。③由两点确定一条直线可知，在画一次函数的图像时，只要先描出直线上的两点，再过这两点画一条直线就可以了，当b≠0时，一般取与坐标轴相交的两点（____，0）、（0，____）较好。3、直线位置与常数的关系①k决定直线的方向k＞0直线的方向向上；k＜0直线的方向向下②b决定直线与y轴交点的位置：b＞0直线与y轴交点在x轴的_____；b=0直线过_____点；b＜0直线与y轴交点在x轴的_____；根据下列一次函数y=kx+b(k≠0)的草图回答出各图中k、b的符号：4、一次函数的性质：与正比例函数的性质一样，当k＞0，y随x的增大而_____；当k＜0，y随x的增大而_____。5、一次函数与一元一次方程的关系一次函数y=kx+b（k≠0），当y=0时，即对应一元一次方程y=kx+b（k≠0），也就是说一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与x轴的交点的横坐标x的值就是方程y=kx+b（k≠0）的根。6、求一次函数表达式：待定系数法由已知条件，先设一个式子中的未知系数，然后根据已知数据求出未知系数，从而法语出这个式子的方法叫待定系数法。说明：求正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等一般都采用待定系数法。7、一次函数图像与坐标轴交点：直线y=kx+b（k≠0）与x轴交点（____，0），与y轴交点（0，____），与两坐标轴围成的三角形的面积_______（三）反比例函数1、函数y=kx（k≠0的常数）叫做反比例函数，也可以说y与x成反比例，函数中的x≠0。①与正比例函数一样，确定了k值，就可以确定一个反比例函数。②反比例函数y=kx还可表示成y=kx-1的形式。第4页共9页2、反比例函数的性质①当k＞0时，它的图像的两个分支分别在第______限内，在每个象限内，y随x的增大而______。②当k＜0时，它的图像的两个分支分别在第______象限内，在每个象限内，y随x的增大而______。③图像的两个分支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交。注意：用性质时，要注意“在每个象限内”这个条件。3、k决定双曲线的位置①k＞0图像的两个分支分别在第____象限内。②k＜0图像的两个分支分别在第____象限内。4、k的几何意义过双曲线y=kx（k≠0）上任意一点P引x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、A，则矩形PBOA的面积为_____,△POB的面积为______（四）二次函数1、函数y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）叫做二次函数2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线，它是一个轴对称图形，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。3、二次函数常用的两种表达形式①二次函数的解折式有两种常用的表达形式：一般式、顶点式。②两根式中x1、x2是抛物线与x轴相交的两个交点的横坐标，即方程ax2+bx+c=0的两个实根。③二次函数解析式的两种常用表达形式各有其优点，可以根据不同需要互相转化，如一般式通过配方可化为顶点式。4、二次函数的性质①a＞0时，抛物线的开口向_____，顶点是它的最_____点；a＜0时，抛物线的开口向_____，顶点是它的最_____点；a决定抛物线的开口_____和开口_____。a越大，开口越_____。②抛物线的对称轴是直线x=_____，顶点坐标是（_____，_____）③如果抛物线用顶点式y=a（x－h）2+k表示时，那么对称轴是直线x=_____，顶点坐标是（_____，_____）④当b=c=0时，二次函数为最简单的二次函数y=ax2。当b、c不全为0时，二次函数y=ax2+bx+c的图像与y=ax2的图像的形状相同，位置不同，可以通过适当的平移，使两个图形重合，如把二次函数y=(x－1)2－4的图像，向左平移一个单位，向上平移四个单位，即与y=3x2的图像重合。第5页共9页⑤画二次函数的图像时，应先求出它的对称轴和顶点坐标，然后利用它的对称性列表取点，如取与y轴的交点及基本对称点，如果图像与x轴有两个交点，取这两个交点等，最后描点连接，就可画出二次函数的图像。5、抛物线中间由a、b、c决定：a＞0开口向___①a决定抛物线的开口方向a＜0开口向___②c决定抛物线与y轴交点的位置：c＞0图像与y轴交点在x轴的___方；c=0图像过___点；c＜0图像与x轴交点在x轴的___方。③a、b决定抛物线对称轴的位置：（对称轴：x=2ba）a、b同号对称轴在y轴___侧；b=0对称轴是y轴；a、b异号对称轴在y轴___侧。④△=b2－4ac决定抛物线与x轴交点情况：△＞0抛物线与x轴有两个不同交点；△=0抛物线与x轴有惟一公共点（相切）；△＜0抛物线与x轴有无公共点。6、二次函数的最值①二次函数y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）中，如果a＞0，那么当x=2ba时，函数y有最小值244acba，记作y最小值＝244acba；如果a＜0，那么当x=2ba时，函数y有最大值244acba，记作y最大值＝244acba；②所谓最值就是最大值或最小值，二次函数取最大值或最小值是与决定图像开口方向的a有关。③二次函数的最值反映到图像上，就是最高点或最低点，也就是顶点的纵坐标。7、二次函数与一元二次方程的关系二次函数y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0），当y＝0时，即对应一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），也就是说，二次函数y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）的图像与x轴的交点的横坐标x的值就是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根。第6页共9页①当△=b2－4ac＞0时，由于一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点。②当△=b2－4ac＝0时，由于一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一交点，即抛物线的顶点；③当△=b2－4ac＜0时，由于一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根，所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点。8、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。9、会用二次函数来解决有关实际问题（五）分段函数自变量的取值范围分成几段，函数在每段上都用相应的函数解析式表示，这样的函数叫做分段函数。（六）常见题解法及思路1、直角坐标系问题其实就是各特殊点、象限点的坐标问题，只要掌握各点坐标特征，问题就可迎刃而解。2、对于函数问题，其概念理解应全面，应注意三点：1）两个变量x与y；2）变量y的值随变量x的值变化而变化；3）对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应。3、画函数图像的一般方法是：列表、描点、连线4、灵活掌握各特殊函数本身的定义、表达式特征、图象、性质，其中也包括函数的对称性和增减性，并且由数形结合思想将表达式、图象、性质三位一体。如：会由函数图象来判断解析式的系数符号，或由一些对图象的描述性语言来判断解析式的系数符号。5、求两个函数的交点问题，把两个解析式组成方程组，方程组若有解，则为交点坐标6、用待定系数法求函数解析式的方法1）有几个待定的系数，就要有几个条件来列出相应的方程（组）计算。2）由了解各特殊函数中系数的作用来进行计算，如：一次函数y=kx+b1与y=kx+b2（k≠0）