初中数学竞赛精品标准教程及练习01数的整除(一)

1初中数学竞赛精品标准教程及练习(1)数的整除（一）一、内容提要：如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除.0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征除数能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。如1001100－2＝98（能被7整除）又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和92x的和仍是三位数75y且能被9整除。求x,y解：x,y都是0到9的整数，∵75y能被9整除，∴y=6.∵328＋92x＝567，∴x=3例2己知五位数x1234能被12整除，求X解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8当末两位X4能被4整除时，X＝0，4，8∴X＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，2∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。三、练习1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥102962若四位数a987能被3整除，那么a=_______________3若五位数3412X能被11整除，那么X＝__________-4当m=_________时，535m能被25整除5当n=__________时，n9610能被7整除6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？11己知五位数A1234能被15整除，试求A的值。12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。13在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）练习参考答案：1.④22×32×7×3⑤3×7×13×37⑥23×32×11×132.0，3，6，93.04.2，75.36.10010，99907.9996，99928.6：B8：F，G9：B，D11：G，H9.16；2710.没有一个，∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数，与数字的位置无关11.仿例2，a＝512.10269（由最小五位数10234调换末两位数）313.11111111100初中数学竞赛精品标准教程及练习（2）倍数约数一、内容提要1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。7在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。二、例题例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。解：列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21，2231，322×31，2，3，64221，2，43321，3，32322×31，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422×321，2，3，4，6，9，12，18，369241，2，4，8，165341，3，32，33，345其规律是：设A＝ambn(a，b是质数,m，n是正整数)那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)4例如求360的正约数的个数解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24,90]=360例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6经检验1和2不合题意，∴N＝6，3例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。解：∵[10,9,8]=360,∴所以所求的数是359三、练习21，12的正约数有_________,16的所有约数是_________________2，分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________3，用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。4，一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________5，能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________6，己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________7，写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答____8，一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9，一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？练习参考答案：1.1，2，3，4，6，12；±1，±2，±3，±6，±9，±182.22×3×52；183.2×5；22×5354.6935.［3，5，11］＝165，1155；9906.A＝3即求14－2与23－2的公约数7.30，60，908.（135，105）＝15，正约数有1，3，5，159.119。∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119