平面向量中的最值范围(偏难--带答案)

第1页（共4页）平面向量中的最值范围（偏难带答案）1、设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且OA―→⊥OB―→，则(OC―→－OA―→)·(OC―→－OB―→)的最大值是()A．1＋2B.1－2C.2－1D．1解答：如图，作出OD―→，使得OA―→＋OB―→＝OD―→，(OC―→－OA―→)·(OC―→－OB―→)＝OC―→2－OA―→·OC―→－OB―→·OC―→＋OA―→·OB―→＝1－(OA―→＋OB―→)·OC―→＝1－OD―→·OC―→，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，OD―→·OC―→取得最小值，最小值为－2，此时(OC―→－OA―→)·(OC―→－OB―→)取得最大值，最大值为1＋2，故选A.2、如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE―→·BE―→的最小值为()A.2116B.32C.2516D．3解答：如图，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC.由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0,0)，A(1,0)，B32，32，C(0，3)．设E(0，y)(0≤y≤3)，则AE―→＝(－1，y)，BE―→＝－32，y－32，∴AE―→·BE―→＝32＋y2－32y＝y－342＋2116，∴当y＝34时，AE―→·BE―→有最小值2116.选A3、已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A.3－1B.3＋1C．2D．2－33解答∵b2－4e·b＋3＝0，∴(b－2e)2＝1，∴|b－2e|＝1.如图所示，把a，b，e的起点作为公共点O，以O为原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点(2,0)为圆心，半径为1的圆上，|a－b|就是线段AB的长度．要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此|a－b|的最小值为3－1.第2页（共4页）4、如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则AM―→·AN―→的最大值为()A．3B.23C．6D．9解析：选D由平面向量数量积的几何意义知，AM―→·AN―→等于AM―→与AN―→在AM―→方向上的投影之积，所以(AM―→·AN―→)max＝AM―→·AC―→＝12AB―→＋AD―→·(AB―→＋AD―→)＝12AB―→2＋AD―→2＋32AB―→·AD―→＝9.5、已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA―→·(PB―→＋PC―→)的最小值是()A．－2B.－32C．－43D．－15解答：选B如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1,0)，设P(x，y)，则PA―→＝(－x,3－y)，PB―→＝(－1－x，－y)，PC―→＝(1－x，－y)，所以PA―→·(PB―→＋PC―→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y－322－32，当x＝0，y＝32时，PA―→·(PB―→＋PC―→)取得最小值，为－32.6、若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，求OP―→·FP―→的最大值．由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则有x204＋y203＝1，解得y20＝31－x204，因为FP―→＝(x0＋1，y0)，OP―→＝(x0，y0)，所以OP―→·FP―→＝x0(x0＋1)＋y20＝x20＋x0＋31－x204＝x204＋x0＋3＝14(x0＋2)2＋2，因为－2≤x0≤2，故当x0＝2时，OP―→·FP―→取得最大值6.7、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP―→＝λAB―→＋μAD―→，则λ＋μ的最大值为()A．3B.22C.5D．2选A以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为222＋12＝25，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝45.因为P在圆C上，所以P1＋255cosθ，2＋255sinθ.又AB―→＝(1,0)，AD―→＝(0,2)，AP―→＝λAB―→＋μAD―→＝(λ，2μ)，第3页（共4页）所以1＋255cosθ＝λ，2＋255sinθ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cosθ＋55sinθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tanφ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.8、如图，△ABC是边长为23的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP―→·BP―→的取值范围是()A．[1,13]B.(1,13)C．(4,10)D．[4,10]选A取AB的中点D，连接CD，CP，则CA―→＋CB―→＝2CD―→，所以AP―→·BP―→＝(CP―→－CA―→)·(CP―→－CB―→)＝CA―→·CB―→－2CD―→·CP―→＋1＝(23)2cosπ3－2×3×1×cos〈CD―→，CP―→〉＋1＝7－6cos〈CD―→，CP―→〉，所以当cos〈CD―→，CP―→〉＝1时，AP―→·BP―→取得最小值为1；当cos〈CD―→，CP―→〉＝－1时，AP―→·BP―→取得最大值为13，因此AP―→·BP―→的取值范围是[1,13]．9、已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部(不含边界)的动点，若AP―→＝λAB―→＋μAC―→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A.23，1B.23，2C.712，1D．(2,3)解：选A以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)．设△ABC的内切圆的半径为r，因为I是△ABC的内心，所以(5＋3＋4)×r＝4×3，解得r＝1，所以I(1,1)．设P(x，y)，因为点P在△IBC内部(不含边界)，所以0＜x＜1.因为AB―→＝(－3,0)，AC―→＝(－3,4)，AP―→＝(x－3，y)，且AP―→＝λAB―→＋μAC―→，所以x－3＝－3λ－3μ，y＝4μ，得λ＝1－13x－14y，μ＝14y，所以λ＋μ＝1－13x，又0＜x＜1，所以λ＋μ∈23，1，故选A.10、在△ABC中，(AB―→－3AC―→)⊥CB―→，则角A的最大值为________．10解：因为(AB―→－3AC―→)⊥CB―→，所以(AB―→－3AC―→)·CB―→＝0，即(AB―→－3AC―→)·(AB―→－AC―→)＝0，整理得AB―→2－第4页（共4页）4AC―→·AB―→＋3AC―→2＝0，即cosA＝|AB―→|2＋3|AC―→|24|AC―→|·|AB―→|＝|AB―→|4|AC―→|＋3|AC―→|4|AB―→|≥2316＝32，当且仅当|AB―→|＝3|AC―→|时等号成立．因为0＜A＜π，所以0＜A≤π6，即角A的最大值为π6.