初等因子的研究

§8.5初等因子教学目的理解初等因子的概念，理解行列式因子、不变因子、初等因子的关系，熟练掌握初等因子的求法.重点初等因子的求法.难点定理的5.2证明.课型新授课教学过程在矩阵化为标准形时，我们引进了行列式因子和不变因子，在这一节为了把复数域上的矩阵化为若当标准形，还要引进初等因子的概念，它和不变因子是紧密联系的。并介绍初等因子的求法。一、初等因子：定义：把矩阵A（或线性变换A的）的每个次数1的不变因子在复数域内分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的按出现的次数计算）称为A（或线性变换A的）的初等因子。例如：12阶矩阵的不变因子为1，1，1，1，1，1，1，1，1，21，)1(12，2221)1(1，按初等因子的定义，把次数1的不变因子在复数域内分解如下：2211，11)1(122，222222111)1(1ii故该12阶矩阵的初等因子为：21、21、21、1、1、2i、2i共7个。其中21出现3次，1出现两次。练习：求232211121A的不变因子和初等因子。因为)(A化成标准形是20000001，所以)(A的不变因子是1，，2；)(A的初等因子是，，1。二、初等因子与不变因子的互换关系：1、若A的不变因子是)(,),(),(21nddd，将)(,),(),(21nddd分解为互不相同的一次因式方幂的乘积为：nrnnrrkrkknkrkkkrkkddd)()()()()()()()()()()()(21222211121121212211其中1ijk的方幂ijj)(是A的全部初等因子),,2,1;,,2,1(rjni2、因为)1,,2,1(),()(1niddii，故ijjikiki,1)()(，rkkkknjjj,,2,1,21。从而，在)(,),(),(21nddd中，同一个一次因式方幂指数是递升的，因此：若知初等因子，必可求出不变因子。把初等因子中的每一个一次因式的方幂由高到低排成一行，若不够n个，则在后面加1补足n个。如：1)(1rk，1,1)(1rk，…，21)(1k，11)(1k2)(2rk，2,1)(2rk，…，22)(2k，21)(2k……………………………………rnkn)(，nrkn,1)(，…，nkn2)(，nkn1)(然后，把第一列乘起来就是)(nd把第二列乘起来就是)(1nd把第1n列乘起来就是)(2d把第n列乘起来就是)(1d；即：nrnnrrkrkknkrkkkrkkddd)()()()()()()()()()()()(21222211121121212211例：前面例子中3阶矩阵的初等因子为，，1，把初等因子中不是同一次因式的方幂由高到低排为：，，11，1，1（不足3个，补足3个）故：该矩阵的不变因子是：111)(1)()1()(1223ddd说明：两个同阶数字矩阵若有相同的初等因子，必有相同的不变因子，故而相似。反之，若两个矩阵相似，必有相同的不变因子，由前面不变因子与初等因子关系的分析知，它们必有相同的初等因子。三、结论：定理8：两个同阶矩阵相似它们有相同的初等因子它们有相同的不变因子。四、初等因子的求法：方法一：利用不变因子与初等因子的互换关系，已知由不变因子求初等因子的第一种方法。方法二：给定矩阵A，用初等变换化它的特征矩阵AE为对角形，再将主对角线上的元素在复数域内分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子。用此方法求初等因子方便、快捷。例3求下列矩阵的初等因子①222,12111,412927313初等因子为AEA初等因子212220200000100000000000200020233233A例2：求22)1(000000的初等因子。只须分解因式：222)1()1()1(初等因子为：2)1(,1,,。作业：1、（1）（2）（4）求初等因子。