关于利用泰勒公式判断广积分的敛散性的应用

1海南师范大学本科生毕业论文题目：关于利用泰勒公式判断广积分的敛散性的应用姓名：黄少睁学号：200905091122专业：数学与应用数学年级：2009级学院：数学与统计学院完成日期：2013年4月27日指导教师：沈有建（教授）1本科生毕业论文独创性声明本人声明所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文中没有抄袭他人研究成果和伪造数据等行为。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。论文作者签名：日期：本科生毕业论文使用授权声明海南师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交毕业论文的复印件和磁盘，允许毕业论文被查阅和借阅。本人授权海南师范大学可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复印手段保存、汇编毕业论文。论文作者签名：日期：指导教师签名：日期：1目录1.引言..................................................................................................12.预备知识.........................................................................................23.正文..................................................................错误!未定义书签。参考文献：..........................................................错误!未定义书签。1略说泰勒公式的应用作者：黄少睁指导教师：沈有建（海南师范大学数学与统计学院，海口，571158）摘要：泰勒公式在数学应用占有重要的地位，它在解决数学问题以及数学运用方面有着十分显著的作用。本文主要采取举例分析的形式理解泰勒公式在解决极限运算、近似计算、中值问题、行列式计算、高阶导数及不等式证明等数学问题中的应用，更好的阐述其应用功能．关键词：泰勒公式广义积分敛散性极限高阶导数ApplicationofTaylorformulaAuthor:HuangshaozhengTutor:Shenyoujian(Professor)(SchoolofMathematicsandstatistics,Hainannormaluniversity，Haikou,571158)Abstract:theTaylorformulaplaysanimportantroleintheapplicationofmathematics,ithasaverysignificantroleinsolvingmathematicalproblemsandmathematicalapplication.ThispapermainlyadoptstheformoftheTaylorformulaforanalysisofunderstandinginsolvinglimitoperation,approximatecalculation,medianproblem,determinantcalculation,highorderderivativeandinequalityprovingmathematicalproblemsinapplication,theapplicationfunctiononbetterKeywords:TaylorformulaGeneralizedintegralConvergenceLimitHighorderderivative引言泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的公式，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具．但一般高等教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未进行深入探讨。实际上利用泰勒公式不仅能将一些初等函数近似地表示成多项式，进行函数值的近似计算，还可用来证明不等式，求极限，判断广义积分的敛散性，行列式的值等，本文通过若干实例总结了泰勒公式在数学领域中分析问题的灵活运用，更好的阐述其应用功能．1预备知识泰勒（Taylor）公式的不同形式：a.如果函数()fx在点0x的某邻域内具有n阶导数，则对此邻域内的点x，有下述带有皮亚诺（Peano）型余项的泰勒公式：()0200000000()()()()[(]()2!!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxoxxxxn）．b.如果函数()fx在点0x的某邻域内具有1n阶导数，则对此邻域内的点x，有下述带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式：()(1)0210000000()()()()()()2!!n1!nnnnfxfxffxfxfxxxxxxxxxn（），其中介于0x与x之间．当00x时，上式称为麦克劳林公式．常用的基本初等函数的麦克劳林公式是：2112!!(1)!nxxnxxeexxnn，01，(,+)x；3521121cossin(1)(1)3!5!(21)!(21)!mmmmxxxxxxxmm，01，(,+)x；242122coscos1(1)(1)2!4!(2)!(22)!mmmmxxxxxxmm，01，(,+)x；23111ln(1)(1)(1)23(1)(1)nnnnnxxxxxxnnx，01，(1,1]x；2(1)(1)(1)(1)12!!nnxxxxn11(1)()(1)(1)!nnnxxn，01，1x；1122111(1)nnnxxxxxx，01，1x．1.判断广义积分的敛散性在判定广义积分()Afxdx的敛散性时，需取1(0)PAdxpx比较分析，通过研究无穷小量()()fxx的阶来有效地选择1pAdxx的P值，从中判定()Afxdx的敛散性a.收敛例题判断广义积分5(112)xxxeeedx的敛散性解：11(112)xxxeee221111111()()22!22xxxxeoeee221111111()()22!22xxxxeoeee2221111112(11()2)2828xxxxxxxxxeeeeeeoeee221(())4xxxeeoe33221()4xxeoe故：32112lim114xxxxxeeee而+332255112()443xxedxe15216e由比较判别法可知原广义积分收敛。b．发散1例题广义积分20sinarctxxdxgxx是否收敛？341sin()3!xxxox343561(())sin3!11(())35xxxoxxarctgxxxxxoxx222213(1())()(1())3!3()xoxoxxoxx故0sinlim13xxarctgxxx而103dxx发散，从而20sinxxdxarctgxx也发散通过上面题型，可发现利用泰勒公式判定广义积分的敛散性问题，是一个重要的的开拓点。应用这些解题技巧对理解理解数学的思维，是非常有益的2.解决极限运算问题高等数学中常见的问题之一极限问题，利用泰勒公式来解决这类问题比洛比达法则，等价无穷小代换等方法更简便．例题求极限2240coslimsinxxxex24411cos124!xxxox！．2222421122!2xxxeox．故2442440011cos14!8!limlimsin12xxxxoxxexx1例题2确定a，b使2lim2410xxxaxbx．解：22222112112412121()222xxxxoxxxxx，2124122xxaxbaxbox．因为极限为0，由此得到，2a，2b．3．求函数的高阶导数按照()fx的泰勒公式，其通项中的0()nxx的系数是()01()!nfxn，利用这一点可以反过来求高阶导数的数值，往往比依次求导来得简便．由泰勒公式展开的唯一性，得泰勒公式各项系数()0()(1,2,)!kkfxakk，则可得高阶导数()0()kfx，即()0()!(1,2,)kkfxkak．例题求2()ln(1)fxxx在0x处的n阶导数()(0)(3)nfn．解：由泰勒公式()(0)()(0)'(0)()!nnnffxffxxoxn及2322212ln(1)[(1)()]232nnnxxxxxxxoxn4531(1)()232nnnxxxxoxn得()1(0)1(1)!2nnfnn，故1()(1)!(0)2nnnfn．参考文献：【1】华东师范大学数学系数学分析上册北京；高等教育出版社【2】张天德韩振来主编数学分析习题精解天津：天津科学技术出版社1【3】吴良森.宋国栋等主编数学分析习题精解北京：科学出版社【4】吴良森毛羽辉韩士安吴畏.《数学分析学习指导书》.高等教育出版社