全国2010高中数学联赛模拟试题一

全国2010高中数学联赛模拟试题一一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.1、函数的最大值是（）A、2B、C、D、32.已知，定义，则（）A．B．C．D．3.已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1，且满足＋＋＝，则正三棱锥P－ABC的体积为（）A．B．C．D．4.已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（）A、B、3C、D、25.已知（R），且则a的值有（）（A）个（B）个（C）个（D）无数个6.平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对（）A．不存在B．至少有一个C．至多有一个D．恰有一个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7.不等式的解集为，那么的值等于__________.8.定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________.9.等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为_______________的数列也是等比数列．10.在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是11.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．12.已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）13.在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量(1)求的取值范围;（2）若试确定实数的取值范围.14.已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD.15.设椭圆的方程为,线段是过左焦点且不与轴垂直的焦点弦.若在左准线上存在点,使为正三角形,求椭圆的离心率的取值范围,并用表示直线的斜率.16.在数列中，（Ⅰ）试比较与的大小；（Ⅱ）证明：当时，.参考答案：1.B2.解：计算可知是最小正周期为６的函数。即得，所以＝，故选C.3.B4.B5.D解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有．所以当，且时，恒有．由于不等式的解集为，不等式的解集为．因此当时，恒有.故选（D）．6.B解：因为，所以。将区间[0，1]分成[]，三段，则中至少有两个值落在同一个小区间内（抽屉原理）。所以满足的好点对（）至少有一个。所以选B.7.8.＝20059.10.36π11.39012.简解：设Ｂ点坐标为（y21–4,y1），Ｃ点坐标为(y2–4,y)显然y21–4≠０，故kAB=(y1–2)/(y21–4)=1/(y1+2).由于AB⊥BC，所以kBC=–(y1+2).从而y–y1=–(y1+2)[x–(y21–4)],y2=x+4消去x，注意到y≠y1得:(2+y1)(y+y1)+1=0→y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由Δ≥0解得：y≤0或y≥4.当y=0时，点Ｂ的坐标为(–3,–1)；当y=4时，点Ｂ的坐标为(5,–3)，均满足题意。故点Ｃ的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4.13.【标准答案】解：因为所以，由正弦定理，得，即又所以即.(1)=因此的取值范围是(2)若则,由正弦定理，得设=,则,所以即所以实数的取值范围为14.（I）证明：依题意知：（II）由（I）知平面ABCD∴平面PAB⊥平面ABCD.在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，设MN=h则要使即M为PB的中点.（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）由（I）知平面，则的法向量。又为等腰因为所以AM与平面PCD不平行.15.解：如图,设线段的中点为．过点、、分别作准线的垂线,垂足分别为、、,则．假设存在点，则，且，即，所以，．于是，，故．若(如图)，则.当时,过点作斜率为的焦点弦,它的中垂线交左准线于,由上述运算知,．故为正三角形.若，则由对称性得．又,所以，椭圆的离心率的取值范围是，直线的斜率为．16.解：（Ⅰ）由题设知，对任意，都有，（Ⅱ）证法1：由已知得，又.当时，设①则②①-②，得证法2：由已知得，（1）当时，由，知不等式成立。假设当不等式成立，即，那么要证，只需证即证，则只需证………………10分因为成立，所以成立.这就是说，当时，不等式仍然成立.根据（1）和（2），对任意，且，都有