八年级第三章3.4平行四边形(第3课时)(顾厚春)

苏科版教学案八年级第三章3.4平行四边形（第3课时）顾厚春第1页§3.4平行四边形（第3课时）审核人：夏建平【目标导航】1.进一步掌握平行四边形的有关性质和判定方法；2.能综合运用平行四边形的性质和判定方法解决有关问题，提高几何分析、推理及计算能力．【要点梳理】1.定义：两组对边的四边形叫做平行四边形.2.性质：总体上看，平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，经过平行四边形两对角线交点的直线平分.反过来说，一个四边形若是中心对称图形，则此四边形一定是平行四边形.具体来说，平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线.3．判定方法：（1）（定义）两组对边分别的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别的四边形是平行四边形；（3）一组对边的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别的四边形是平行四边形；（5）两条对角线的四边形是平行四边形．4.面积：平行四边形的面积：平行四边形的面积等于底与对应的高的积．等底等高的平行四边形面积，等底等高的平行四边形面积是三角形面积的倍．5.平行四边形的作图：用尺规作图作一个平行四边形，比较简便的方法是：（1）利用两组对边分别来作；（2）利用对角线来作．我们可以利用平行四边形的方法经过直线外一点作已知直线的平行线.6.平行四边形与三角形的转化：一方面，平行四边形被一条对角线分割成一对的三角形，被两条对角线分割成两对的三角形；另一方面，将一个三角形绕着它的一边中点旋转180，所得的三角形与原三角形组成一个平行四边形．所以在一定条件下，平行四边形的问题与三角形的问题可以相互转化．【问题探究】知识点1：综合运用平行四边形的性质与判定方法解决问题例1．（2007·辽宁沈阳）如图3.4-3-1，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：四边形GEHF是平行四边形．【变式】(2009·福建宁德)如图3.4-1-2,点A．D．B．E在同一直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）知识点2：综合运用平行四边形与三角形的有关知识解决问题例2．（2010·重庆綦江）如图3.1-3-3，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连结CG、CF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF;③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE.A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④苏科版教学案八年级第三章3.4平行四边形（第3课时）顾厚春第2页【变式】（2010·广东厦门）如图3.4-3-4，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60º,EF＝DC.(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)若BE＝EF,,求证AE＝AD.（图3.4-3-4）知识点3：构造平行四边形解决问题例3．小明为测量池塘的宽度，在池塘的两侧A，B引两条直线AC，BC相交于点C，在BC上取点E，G，使BE=CG，再分别过点E，G作EF∥AB，GH∥AB，交AC于点F，H．测出EF=10m，GH=4m（如图3.4-3-5）．小明就得出了结论：池塘的宽AB为14m．你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．（图3.4-3-5）【变式】请利用构造平行四边形的方法解决下列问题：如图3.4-3-6，已知M是RtΔABC斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．（图3.4-3-6）【课堂操练】1.（2010广东汕头）如图3.4-3-7，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．（1）试说明AC＝EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．（图3.4-3-7）2.如图，将五个小平行四边形拼在一起，请画出一条直线，将这个图形分成面积相等的两个部分（至少给出两种画法）.（图3.4-3-8-①）（图3.4-3-8-②）（图3.4-3-8-③）苏科版教学案八年级第三章3.4平行四边形（第3课时）顾厚春第3页【每课一测】（完成时间：45分钟，满分：100分）一、选择题（每题5分，共25分）1．下列说法正确的是（）A．有两对角相等的四边形是平行四边形B．平行四边形的对角线相等C．平行四边形的对角互补、邻角相等D．平行四边形的对边平行且相等2．（2006·山东德州）在△MBN中，BM=6，点A，C，D分别在MB，NB，MN上，四边形ABCD为平行四边形，且∠NDC=∠MDA，则平行四边形ABCD的周长是（）Ａ．24Ｂ．18Ｃ．16Ｄ．12（第2题图）（第3题图）（第4题图）（第6题图）3．（2008·四川达州）如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对4．如图，□ABCD中，点E、F、M、N都在其边上，EF∥AD,MN∥AB,MN与EF交于点P，且点P在对角线BD上，则图中面积相等的平行四边形共有（）Ａ．1对Ｂ．2对Ｃ．3对Ｄ．4对5．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,∠AOD=∠BOC=60,且AC=BD，则线段AD与BC的和与线段AC的大小关系是（）Ａ．AD+BC＞ACＢ．AD+BC≥ACＣ．AD+BC＜ACＤ．AD+BC≤AC二、填空题（每题5分，共25分）6．（2006•山东淄博）如图，已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，使△ABE的面积为1的点E共有_______个.7．(2010·山东滨州).如图,平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为.8．（2006•山东日照）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45o，且AE+AF=22，则平行四边形ABCD的周长是．FEDCBA（第7题图）（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，P是边长为a的等边△ABC内任一点，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，若PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF的值为.10．如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可找出____个平行四边形．三、解答题（每题10分，共50分）11．（2006·江苏宿迁）如图，在□ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）试说明：AE⊥BF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．苏科版教学案八年级第三章3.4平行四边形（第3课时）顾厚春第4页12．如图①所示，设P为□ABCD内的一点，△PAB、△PBC、△PDC、△PDA的面积分别记为S1、S2、S3、S4．(1)试比较31SS与42SS的大小，说明理由；(2)如图②所示，当点P在□ABCD外部时，S1、S2、S3、S4之间有何相等关系？说明理由．(第12题图①)(第12题图②)13．（2007·安徽省）如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC＝CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形．（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD＝90°，求证：△ABR≌△CRD；（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？图2图1RDCBASRPQDCBA（第13题图）14.如图所示，平面上三个等边两两共有一个顶点，求证：CD与EF互相平分.FEDCBA（第14题图）15．（2010·河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O，连接BB’．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（2）求证：△AB’O≌△CDO．OB'ABCD（第15题图）苏科版教学案八年级第三章3.4平行四边形（第3课时）顾厚春第5页§3.4平行四边形（第3课时）参考答案【要点梳理】1.分别平行.2.平行四边形的面积，互相平分.3.（1）平行；（2）相等；（3）平行且相等；（4）相等；（5）互相平分.4.相等，2.5．相等，互相平分.6．全等，全等.【问题探究】例1．证法一：在□ABCD中，∵AB∥CD，∴∠GBF=∠HDE，∵AB＝CD，AG＝CH，∴GB=HD，∵BE＝DF，∴BF=DE，∴HDEGBF，∴GF=HE，∠BFG=∠DEH，∴GF∥HE，∴四边形GEHF是平行四边形．证法二：连接GH交BD于点O．在□ABCD中，∵AB∥CD，∴∠GBF=∠HCE，∵AB＝CD，AG＝CH，∴GB=HD，又∵∠GOB=∠HOD，∴HODGOB，∴OG＝OH，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形GEHF是平行四边形．【变式】解:图中∠CBA＝∠E,理由如下：证法一：∵AD＝BE，∴AD＋DB＝BE＋DB即AB＝DE，∵AC∥DF∴∠A＝∠FDE，又∵AC＝DF，∴△ABC≌△DEF，∴∠CBA＝∠E.证法2：∵AC＝DF，AC∥DF∴四边形ADFC是平行四边形∴CF∥AD，CF＝AD∵AD＝BE∴CF＝BE，CF∥BE∴四边形BEFC是平行四边形∴∠FCB＝∠E.例2．选B，提示：对于①，连结CF，∵CD＝AB＝EB，FD＝AD＝CB，∠CDF＝∠EBC，∴△CDF≌△EBC，成立；对于②，由①可知∠CDF＝∠EBC，∵AD∥BC,∴∠EGB＝∠EAD，又∠GEB＝∠FAD＝60°，∴∠EBC＝∠GEB＋∠EGB＝∠FAD＋∠EAD＝∠EAF，∴②成立；对于③，通过①，②可证△CDF≌△EBC≌△EAF，∴EC＝CF＝EF，△ECF是等边三角形；对于④，条件不足，不能判断结论的正确性．【变式】证明:(1)∵△ABC是等边三角形∴∠B＝60º,∵∠EFB＝60º,∴∠B＝∠EFB∴EF∥DC∵EF＝DC∴四边形EFCD是平行四边形(2)证明:如图,连接BE∵BE＝EF,∠EFB＝60º苏科版教学案八年级第三章3.4平行四边形（第3课时）顾厚春第6页∴△EBF是等边三角形∴EB＝EF,∠EBF＝60º∵DC＝EF∴EB＝DC∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝60º,AB＝AC∴∠EBF＝∠ACB∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD例3．解：正确．理由如下：过点E作ED∥AC，交AB于点D．∵ED∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AD=EF，∵GH∥AB，∴∠B=∠HGC，∠A=∠GHC，∵ED∥AC，∴∠BDE=∠A，∴∠BDE=∠GHC，又∵BE=CG，∴△BDE≌△GHC（AAS），∴BD=GH，∴AD+BD=EF+GH，∴AB=EF+GH=14m．【变式】证明：延长PM至点E，使EM=PM，连接AE、CE、QE、CP，∵BM=CM，EM=PM，∴四边形BECP是平行四边形，∴PB=CE，BP∥CE,∴∠ECA=180-∠A=90,∴QE2=CE2+QC2．∵QM⊥PE，EM=PM，∴QE=PQ,∴PQ2=PB2+QC2．【课堂操练】1.证明：（1）∵△ACD和△ABE都是等边三角形∴∠EAB＝∠DAC＝60º，AB＝AE，AC＝AD∵EF⊥AB∴∠EFA＝∠ACB＝90º，∠AEF＝30º∵∠BAC＝30º∴∠BAC＝∠AEF∴△ABC≌△EAF（AAS）∴AC＝EF．（2）∵∠DAC＋∠CAB＝90º全品中考网苏科版教学案八年级第三章3.4平行四边形（第3课时）顾厚春第7页∴DA⊥AB∵EF⊥AB∴AD∥EF∵AC＝EF，AC＝AD∴AD＝EF2．如下图所示：（画