光波导模拟waveguidesimulation

关于光波导模拟的一点学习总结AsimulationofawaveguideStudysummaryTheoreticalPhysicsLiuBaojieReferences[1].JohnWiley&Sons,IntroductiontoOpticalWaveguideAnalysis,2001[2].S.Longhi,M.Lobinoetal,.PhysicalReviewB74,155116(2006)[3].S.Longhi.M.Marangonietal,PhysicalReviewLett96.243901(2006)[4].StefanLonghi,PhysicalReviewLett96,023902(2008)[5].T.A.BKennedy,E.M.Wright,PhysicalReviewA38,212(1988)[6].Non-Abeliangeometricphaseinfour-waveguidearrays,Bao-LongWeng,Dong-MeiLai,andX-DZhang,Phys.Rev.A,85,053801(2012).[7].S.Longhi,,1.OpticalrealizationofthetwositeBHMinwaveguidelattice,OpticsLetter(2009)[8].].Stefano.Longhi,3.Quantumsimulationofdecoherenceinopticalwaveguidelattices,OpticsLetter(2013)[9].Stefano.Longhi,Quantum-opticalanalogiesusingphotonicstructures,Laser&Photon.Rev.3(2008)[10].Many-bodyphysicswithultracoldgases,ReviewofModernPhysics80.885[11].ColdBosonicAtomsinOpticalLattices,PhysicalReviewLett81,3108(1998)[12].B.DeMarco,C.Lannert,etal,PhysicalReviewA71,063601(2005)[13].BoseHubbardmodelinthepresenceofOhmicdissipation,PhysicalReviewA79,053611(2009)1一.光波导模拟的基本原理1.波动方程：1）假设电磁场振荡以单一的频率振荡，其对应的电磁矢量可以表示为：jwtrBRBjwtrDRDjwtrHRHjwtrEREexpetrexpetrexpetrexpetr，，，，（1）对应的Maxwell方程为：00jj-j-j0EHEDHHBEr（2）根据（1）和(2)可以求得关于电场的波动方程：0000000002rr20rrknkkckEkE（3）当r为常数时，关于电场的波动方程可以写为：0k22EE2.BeamPropagationWaveEquation:标量的Helmholtz方程：222222202220,,,,,,yxzyxnkzyxzzyxTT（4）考虑slowlyvaryingenvelopeapproximation（SVEA）[1]在这个近似下传波函数，快速振荡相因子zjexp和缓慢变化的部分zyx,,分开了：sssnnknzjzyxzyx002exp,,,,（5）其中sn为substrate或者cladding折射率，对（5）式两边对z求二阶导数可以得到：222222exp2expexpjzjjzjzzzz（6）带入（4）式中则有：022220222nkzjzT（7）利用Fresnelapproximation，对z的二阶导数可以忽略即：022z（8）则（7)式可以写为：ssssTssTnknijnnnnzinnkz0222222202,22j2（9）对于（9）式可以进一步采取近似：xnnxVxVnzinnnnnnnnsTsssssss2222222-212（10）我们可以把上面（10）中的第二式和薛定谔方程比较下，两个方程之间的各个参数的对应关系为：ztyxnnVhnmss;,;;0我们可以利用这个单色光（光子）在光波导中的传输过程模拟一些满足薛定谔方程的演化过程。3.波导耦合情况下的传播方程[2]假设，传播方向沿着z轴的光波导之间存在弱耦合，波导沿着直线z方向出现缓慢的弱偏离，此时（10）可以写为：0022,2YYXXVnZiTs(11)在上面这个式子的基础上我们可以做一个规范变换（Kramers-Henneberger)202000002exp;;YXdniyZYxZXniZzYYyXXxss（12）3则（10）可以化为：rzqyxVniTs,2z22（13）其中：ysxsezYnezXnzqˆˆ2020是由光波导的弯曲方向和程度所决定的。（13）式描述了带电量为q的粒子处于势V中，并且和沿着Z方向的外场和zq相互作用的动力学过程。对于单single-mode波导如果只考虑最近邻波导带之间耦合，也就是采取NNTB(nearest-neighbortight-binding)近似[9]，并且认为最低带是excited，则（13）可以进一步化为11nnnnqnaiccczc(14)其中是近邻波导之间的耦合常数.4.波导阵列中的布洛赫振荡和齐纳遂穿（BO-ZT）.Multibandwavepacketdynamicsintheexternalfield[2]（1）在没有外场情况下，单色光（或者光子）波导传播的“薛定谔方程”可以写为：akarkirkurkyxVnHrkErkHnnTsnnn-exp,,,2ˆ,,ˆ2200（15）其中n代表能带数，nEk表示了带的色散曲线，如下图(FIG.1)FIG.1rk,n是Bolch函数，根据固体理论知Bloch函数满足正交完备性质：kkrkrkdxlnnl,-,,(16)场zr,可以扩展为不同能带Bloch模式的叠加：4rkirkuzkdkczrnnaanexp,,,(17)/exp0,,zkiEkczkcnnn(18)对于给定一个0.x则Blochwavespectrum将被确定:0,,0,xrkdxkcnn(19)根据（16）和（18）式有：22,0,nlllckBkngkaa（20）其中：22,,exp2/1(),0exp2,22/,1,,,12nnllnnluxkknilxagkdxxikxBknklanknBkn（21）上式中gk是电场波函数在波矢k空间中的谱函数（表示），根据（14）式和布洛赫定理可知,nuxk是周期函数，它与晶格有相同的周期性。,nuxk可以按exp2/ilxa展开其中,nkn是其傅立叶展开系数。,Bkn被定义为Bloch-waveexcitation系数。下面是一篇文章的具体的图形分析。（PhysicalReviewB74.155116)Forabroadbeamincidentontothearrayataparaxialangle,thespectrum()gkisnarrowaround0/kkaremostlyexcited.Figure.(2b)showsthenumericallycomputedbehavioroftheBloch-waveexcitationcoefficients,Bnkforthefewlow-orderbandsofthearraydepictedinFig.1,togetherwiththespectrumcorrespondingtoatypicalGaussianbeamexcitationusedinourexperiments.Notethat,forabeamincidenceangleclosetotheBraggangle/Bacorrespondingto0/ka,thetwolowest-orderbandsn=1andn=2arealmostequallyexcited,whereasthecontributionsofhigher-orderbandsarenegligible.56（2）在有外场的情况下，相应的的“薛定谔方程”可以写成：0,,0,,,,3330zknkrklkdzqzkzikErkddrkzizkrqkErkzkrqHzinnllnnnnnlnn（22）对于（19）式第三式第一项可以看做没外场时所满足的方程，对于第二项：nlnnkrklkdX3,当ln时只有对角元素此时外场变为：rzq和前面讨论一样；当ln时，将会发生不同能带之间光子的ZT效应。5.BO-ZTwithNonclassicalLight和量子化过程[4]1)光学BO-ZT的经典模型考虑准单色TE极化光以02c在一维弱耦合光波导阵列中传输过程，根据SVEA近似，我们可以它所满足的标量波动方程：112ztxxgiVxv（23）其中:000;;ssgsdnknvVxknnFxcd当然我们也可以把（20）化成我们上面所熟悉的标量方程：212zxxtsgsiVxFxnvVxnnx(24)我们对（21）式固体物理对晶格处理类似进行分析下，如果忽略非线性和群速度的扩散，我们可以得到电磁场的总的平均能量[5]：ghUdxdzhdxdtv（25）而电场波函数,xz在波导阵列中的布洛赫振荡和齐纳遂穿（BO-ZT）中已经分析过了，它可以利用（16），（17），（18）式表示，有点不同的是这里标量方程中多了项-Fx。其中Fx是transverserefractiveindexgradient.当0F的时候，nEk表示第n个带的色散关系。当准单色光以离散（量子化）能量（fractionallightPower）这时可以认为此时的光是Non-classical。当这种光占据（Trapped）在波导阵列的带上时，可以用表达式表示：722,,nnnndkczkZzdkczk（26）有上面的分析知道，当入射角与布拉格（Bragg）角相比很小的时候,n=1时第一个带是最excited,在空间周期性/BzFa下，使布洛赫振荡的衰减的单带之间的耦