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当前位置:首页 > 中学教育 > 初中教育 > 人教版七年级数学知识点下第五章相交线与平行线
第五章相交线与平行线本章知识结构如下图所示:5.1相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:图形顶点边的关系大小关系对顶角∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。∠3+∠4=180°注意点:⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。2、垂线1243⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。符号语言记作:如图所示:AB⊥CD,垂足为O⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。3、垂线的画法:⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。注意:①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。画法:⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆。如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段区别:垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。联系:具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)⑵两点间距离与点到直线的距离区别:两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。联系:都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。⑶线段与距离距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。5.2平行线ABCDOPABO1、平行线的概念:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行,记作a∥b。2、两条直线的位置关系在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴相交;⑵平行。因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线)判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:①有且只有一个公共点,两直线相交;②无公共点,则两直线平行;③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)3、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行如左图所示,∵b∥a,c∥a∴b∥c注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行。5、三线八角两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如图,直线ba,被直线l所截①∠1与∠5在截线l的同侧,同在被截直线ba,的上方,叫做同位角(位置相同)②∠5与∠3在截线l的两旁(交错),在被截直线ba,之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)③∠5与∠4在截线l的同侧,在被截直线ba,之间(内),叫做同旁内角。④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型。6、如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。例如:如图,判断下列各对角的位置关系:⑴∠1与∠2;⑵∠1与∠7;⑶∠1与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5与∠8。我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图。abcabl1234567816BAD2345789FEC如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角。注意:图中∠2与∠9,它们是同位角吗?不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成。7、两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行简称:同位角相等,两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行简称:内错角相等,两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行简称:同旁内角互补,两直线平行几何符号语言:∵∠3=∠2∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)∵∠1=∠2∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)∵∠4+∠2=180°∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。平行线的判定是写角相等,然后写平行。注意:⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”。⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:①如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。典型例题:判断下列说法是否正确,如果不正确,请给予改正:⑴不相交的两条直线必定平行线。⑵在同一平面内不相重合的两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交。⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行解答:⑴错误,平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。“在同一平面内”是一项重要条件,不能遗ABF21ABC17ABCD26ADBF1BAFE58CABCDEF1234漏。⑵正确⑶不正确,正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。因为如果这一点不在已知直线上,是作不出这条直线的平行线的。典型例题:如图,根据下列条件,可以判定哪两条直线平行,并说明判定的根据是什么?解答:⑴由∠2=∠B可判定AB∥DE,根据是同位角相等,两直线平行;⑵由∠1=∠D可判定AC∥DF,根据是内错角相等,两直线平行;⑶由∠3+∠F=180°可判定AC∥DF,根据同旁内角互补,两直线平行。5.3平行线的性质1、平行线的性质:性质1:两直线平行,同位角相等;性质2:两直线平行,内错角相等;性质3:两直线平行,同旁内角互补。几何符号语言:∵AB∥CD∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)∵AB∥CD∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)∵AB∥CD∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)2、两条平行线的距离如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。注意:直线AB∥CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。3、命题:⑴命题的概念:判断一件事情的语句,叫做命题。ABEDFC123ABCDEF1234AEGBCFHD⑵命题的组成每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……,那么……”的形式。具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。有些命题,没有写成“如果……,那么……”的形式,题设和结论不明显。对于这样的命题,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果……,那么……”的形式。注意:命题的题设(条件)部分,有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述;命题的结论部分,有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。4、平行线的性质与判定①平行线的性质与判定是互逆的关系两直线平行同位角相等;两直线平行内错角相等;两直线平行同旁内角互补。其中,由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质。典型例题:已知∠1=∠B,求证:∠2=∠C证明:∵∠1=∠B(已知)∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行)∴∠2=∠C(两直线平行同位角相等)注意,在了DE∥BC,不需要再写一次了,得到了DE∥BC,这可以把它当作条件来用了。典型例题:如图,AB∥DF,DE∥BC,∠1=65°求∠2、∠3的度数解答:∵DE∥BC(已知)∴∠2=∠1=65°(两直线平行,内错角相等)∵AB∥DF(已知)∴AB∥DF(已知)∴∠3+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠3=180°-∠2=180°-65°=115°ADEBC12ADFBEC1235.4平移1、平移变换①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。②新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点③连接各组对应点的线段平行且相等2、平移的特征:①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化。②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。典型例题:如图,△ABC经过平移之后成为△DEF,那么:⑴点A的对应点是点_________;⑵点B的对应点是点______。⑶点_____的对应点是点F;⑷线段AB的对应线段是线段_______;⑸线段BC的对应线段是线段_______;⑹∠A的对应角是______。⑺____的对应角是∠F。解答:⑴D;⑵E;⑶C;⑷DE;⑸EF;⑹∠D;⑺∠ACB。思维方式:利用平移特征:平移前后对应线段相等,对应点的连线段平行或在同一直线上解答。ADBECF
本文标题:人教版七年级数学知识点下第五章相交线与平行线
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