例谈回避策略在解机几何中的运用22

1例谈回避策略在解析几何中的运用胡祖福黎红英解析几何就是用代数的方法研究几何问题，解决解析几何问题时经常要运用函数思想与方程（组）或不等式（组）方法，这样使得有些问题的运算十分繁杂，甚至无法解决。为此，数学教师要引导学生寻找其他方法予以回避，以培养学生的思维能力，提高解题速度和准确率。一、利用圆锥曲线定义回避例1：已知点F是椭圆221259xy的右焦点，M是此曲线上的动点，(2,2)A是一个定点，则MAMF的最小值为。分析：观察到MF是椭圆的焦半径，联想到椭圆定义，把MF用另一焦半径替换，然后利用三点共线知识求出最小值。解：由已知5,3,ab则4c，设左焦点为1F，则点1(4,0)F，由定义知110MFMF，则110MFMF，111010()MAMFMAMFMFMA。要求min()MAMF，只需求1max()MFMA。如图：利用三点共线知识，连接1FA并延长交椭圆于点P，则点P就为所求的点M.则221max1()(42)(02)210MFMAFA解析几何中与焦半径有关问题均可想到定义，自然而巧妙。二、利用数形特征回避例2：定点(0,2)P到曲线2112yx上点的最短距离为。分析：由2112yx联想到二次函数的图象，转化为利用数形结合进行研究。解：作出曲线2112yx的图象如右，显然距离(0,2)P最近的点为(0,1)，故最短距F1F(2,2)AoPxymin()10210MFMA2离为1。数学中的形象思维与抽象思维具有互补关系，在解题教学中两者应互相配合，协同进行。三、利用点差法（又叫差分法）回避例3：已知曲线2yax与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A与B，若过这两个交点的直线的倾斜角为45，则a=。分析：圆锥曲线中解决有关“弦中点”问题，采用“点差法”可优化解题方法，简化解题程序，回避多参数运算。解：由题意2Axyxy112（，），B（，）在曲线2yax＝上，且点（1，1）是AB中点，故：211222yaxyax，……①，……②①—②：yyyyxx121212（+）（-）=a（-），而1212212yyayyxx12+，则2a故。四、利用“设而不求”回避例4：如图，过抛物线4xy2的对称轴上任一点mP（0，）m（0）作直线l与抛物线交于AB、两点，点Q是点P关于原点的对称点，若点P分有向线段AB所成的比为，求证：QPQAQB（-）。分析：一般解析几何中涉及到圆锥曲线与直线位置关系问题需研究交点时，往往不需求出交点坐标，只需把交点坐标设出，然后经过分析推理转化为利用韦达定理解决问题。这就是解析几何中重要的解题策略——设而不求。证明：依题意，直线的斜率一定存在，设为k，由24ykxmxy消去y，得：2440xkxm。则121244xxkxxm，而QPmQAxymQBxym1122（0，2），（,+）,（,+）AlBOQy3则21QAQBxxymym12（-）=（-，（+））由题意即要证明：120mymym2（）……而22121244xxyy，，又APPB=，则12xx，代入，得124xxm。而124xxm是成立的，所以QPQAQB（-）。以上所列，从不同角度巧妙运用了回避策略解解析几何题，充满智慧，富有韵味。解析几何中还有多种回避策略，如利用对称性知识求最值，利用直线参数方程中的几何意义处理长度问题，等等。教师在教学中注重引导学生善于归纳，恰当运用，学生的解题能力定能获得提高。（作者单位：慈利县第一中学）注：此文发表在湖南教育（2012年10月下）总第731期