代数表示理论的简要介绍与近期发展

代数表示理论的简要介绍与近期发展21511111xxx摘要：代数表示理论是代数学的一个新的重要分支.在近二十五年的时间里,这一理论有了很大的发展。代数表示论是本世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支，它的基本内容是研究一个Artin代数上的模范畴。由于各国代数学家的共同努力,这一理论于最近二十年来有了异常迅猛的发展并逐步趋于完善。本文主要从Hall代数和拟遗传代数两个方面介绍代数表示论的一些最新进展。关键词：Hall代数;遗传代数;Kac-Moody李代数;拟遗传代数;介绍早在二十世纪初,Wdederburn的著名定理便完全刻画了有限维半单代数的结构,这种代数同构于有限个除环上的全矩阵代数的直和,其上的模都是半单模.那么,非半单代数的结构又如何呢?经典的结构理论是将一个代数划分为根和半单两部分,将代数看作它的根借助半单部分的扩张.并由幂零根发展到谐零根、J。。obson根等各种不同性质的根.一般来说,半单部分能够给出较好的刻画,但根的结构非常复杂。为此专门发展起了“根论”,进行这方面的研究。1945年,美国数学家Baruer和Tharn提出了关于有限维代数的两个猜测.第一,“有界表示型代数是有限的。”第二,“对于任意一个无限表示型代数,存在无限多个自然数d,使得维数等于d的模有无限多个。”这两个猜测成为代数表示论的起源。所谓一个代数是有限表示型的,是指它仅有有限多个(在同构意义下)不可分解模,反之,称为无限型的.众所周知,一个代数的模与代数的表示,即代数到一个全矩阵代数的同态像是一回事.如果我们把这样的一个同态像看作是原来代数的一张照片,则有限表示型代数是用有限张照片就可以揭示清楚的一种代数,当然比较简单.而无限型代数则需用无限多张照片才能表达。代数表示论就是研究一个给定的Artin代数是有限型还是无限型.若是有限型,确定其全体不可分解模;若是无限型,给出模的分布情况.我们大家所熟悉的Jordan标准型就可以看作是单变元多项式环的商环的表示。事实上,令A是复数域C上的任意nxn矩阵,则C[A〕是C上的有限维向代数,C[A〕上的模是一个复数域上的有限维向量空间V,带有一个到自身的线性变换A。VOA.若A有若当块，则“C[A]有不可分解模`,i,A的具不同特征值的最大若当块的阶数之和就是C厂A〕上的互不同构的不可分解模的个数.如果说经典结构理论是直接刻画代数的构造,现代的代数表示论则是用模论的方法研究一个代数的结构.在Brauer一Throll提出他们猜测后的二十多年中,试图解决这两个猜测的工作一直没有实质性的进展.直到1968年,苏联数学家Rojetr的文章:“无限表示型代数上不可分解模的维数的无界性”,对域上有限维代数证明了Brauer一Tharll第一猜测.这篇文章可称作代数表示论的开端.1969年,Kac一Moody定义了广义aCrtan矩阵,使李代数的理论有了极大的突破.由于这件事的启发,瑞士数学家Gabriel于1972一1973年发表了“不可分解表示工与n”,运用图和二次型的方法对代数闭域上有限维路代数的表示型进行了完全的分类.1974一1077年,美国数学家Ausladner和挪威数学家Rieten发表了他们的系列文章:“Airtn代数的表示理论I一巩”,运用同调手法研究不可分解模,提出了几乎可裂序列这一重要概念,奠定了代数表示论的理论基础.1Hall代数一个以有限p-群的同构类为基的自由Abel群可以赋予一个乘法,它的结构常数是某些有限p-群的某种滤链的个数.以这种方式得到一个有单位元的结合环H(Zp),称它为p-adic整数环Zp的Hall代数.它是一个交换环并且在代数和组合的理论中起着重要作用.这种Hall代数首先被E.Steinitz,后来被Ph.Hall所研究.关于这方面的一个好的报道见.1990年,C.M.Ringel将Hall代数的推广建立在相当任意的环──finitary环(特别是有限域上的有限维代数)上.此时的Hall代数一般不交换,它相应的李代数引起了他的注意.他的一系列研究结果表明,Hall代数是一类非常重要的代数,用它可实现许多Kac-Moody李代数及相应的量子包络代数.这种通过Hall代数理论建立的代数表示论与李理论的联系是值得进一步研究的.为了叙述方便,我们限制Hall代数是有限域上的有限维代数的Hall代数.本章约定:k是一个有限域,A是一个k上的有限维代数,它是结合的并且有单位元;记modA是所有的有限维左模的范畴,ind,A是由所有不可分解A-模的同构类的代表元构成的满子范畴;对任意M∈modA,记[M]为M的同构类;另外,Z与QHall代数与合成代数对M,N1,N2,…,Nt∈modA,设FMNt,Nt-1,…,N1是M的如下滤链的个数:0=U0U1…Ut=M使得Ui/Ui-1Ni,1≤i≤t.(注意:如果N1,N2,…,Nt都是单模,FMNt,Nt-1,…,N1恰好是M的具有预先给定合成因子的合成列的个数.)特别地,对M,L,N∈modA,FMLN是M的子模U的个数:UN并且M/UL.代数A的(整)Hall代数H(A)定义如下:它是一个具有基{u[M]}M∈modA的自由Z-模并且有乘法AmodM,M][ML.M]Nu[,FN]u[L]u[注意A的基数是有限的.故对固定的L,N∈modA,几乎所有的FML,N为零.于是上式的右边是一个有限和.以这种方式H(A)成为一个结合环且有单位元u[0].例1.1设A是由D4型箭图Q:确定的域k上的路代数.那么A是k上的有限维(结合)代数并且是遗传的.它的Aus-lander-Reiten箭图为Γ:我们用M(i)表示由Γ的顶点xi确定的不可分解A-模的同构类的一个代表.现在来计算FM(5)M(9)M(1),即计算模M(5)的这样的子模U的个数,使得U≌M(1)且M(5)/U≌M(9).注意到M(1)是单模并且M(5)的维数向量与M(9)和M(1)的维数向量的和相等.故M(5)到M(9)的任一满同态的核与M(1)同构.易见,M(9)的极大子模与M(6),M(7),M(8)之一同构,M(9)的Socle与单模M(1)同构并且M(5)到M(1)只有零态射.而M(j),j=6,7,8,的模长度都是3,故M(5)到M(9)的任一非零非满的同态一定与M(5)到M(j)(j=6,7或8)的一个满同态对应.从而M(5)到M(9)的满同态个数为这里k2是HomA(M(5),M(9))中的元素的个数,3k-2是视HomA(M(5),M(j)),j=6,7,8,为HomA(M(5),M(9))的三个子集的交所含元素的个数.另一方面,M(5)到M(9)的两个满同态g和g′具有相同的核当且仅当g′=gβ,β∈AutA(M(9))(这里gβ记合成映射,而|AutA(M(9))|=|k|-1.所以另外,可根据定义直接计算出，从而当|k|2时因此通常的整Hall代数是不交换的.设E是k的一个扩域.对任意一个k-空间V,我们记VE=VkE.自然,AE成为一个E-代数.我们称E对A是conservative,如果对任意M∈indA,(EndM/radEndM)E也是一个域.我们记是对A的conservative的k的有限扩域同构类的代表元的集合.容易知道,如果A是有限表示型的,那么是一个无限集.代数A的genericHall代数H(A,q)和degenerateHall代数H(A)1定义如下:作整Hall代数的直积∏E∈H(AE),它也自然成为一个结合环.对M∈modA,记v[M]=(u[ME])E∈和q=(E)E∈,它是一个中心元.H(A,q)被定义为∏E∈H(AE)的由所有v[M],M∈modA和q生成的子环.H(A)1被定义为商环H(A,q)/(q-1)H(A,q).此时v[M]的剩余类仍然记为v[M]而不会引起混淆.我们说A有Hall多项式,如果对任意X,Y,Z∈modA,存在整系数多项式φYZ,X(T)∈Z[T],使得YZX(E)=FYEZEXE对任意E∈成立.在A有Hall多项式的情况下,上述定义等价于Ringel[给出的如下简单定义:H(A,q)是基为{v[M]}M∈modA的自由Z[q]-模(这里Z[q]是整数环Z的一元多项式环,q为不定元),并且乘法为H(A)1是基为{v[M]}M∈modA的自由Z-模并且乘法为其中为Hall多项式.譬如,在例1.1中,最近,郭晋云和彭联刚发现Hall代数具有一个好性质:带有任意给定全序的集合{u[X]}X∈indA生成有理数域Q上Hall代数H(A)ZQ的一组PBW-基.类似的结论对H(A,q)和H(A)1也成立.现在我们介绍H(A)的一个子代数———(整)合成代数C(A),它是由{u[S]S单A-模}生成的子环.类似地我们有概念generic合成代数C(A,q)和degenerate合成代数C(A)1的概念.合成代数是一类重要的代数.实际上,在第3节中我们将看到,代数A的表示理论与李代数和量子群的联系正是通过合成代数来实现的.2拟遗传代数拟遗传代数的概念是由E.Cline,B.Parshall及L.Scott提出的,其目的是为了研究在复半单李代数及代数群的表示理论中出现的最高权范畴.研究结果表明拟遗传代数是相当普遍的,许多自然出现的代数被证明是拟遗传代数,如遗传代数,Schur代数,Auslander代数等.V.Dlab和C.M.Ringel首先从环论的角度对拟遗传代数进行了研究.为了叙述方便,下面我们总假定k是一个代数闭域,A是域k上的一个有限维代数.拟遗传代数的定义,例子及其结构设A是域k上的有限维代数.如果χ是一个A-模类,我们用F(χ)记modA的满子范畴,其中的每个对象具有一个子模链使得每个因子同构于χ中的某个对象.设E(i)(i∈Λ)是所有的互不同构的单A-模,这里的指标集Λ是一个带有偏序关系≤的偏序集.对于每个i∈Λ,设P(i)与Q(i)分别是E(i)的投射盖与内射包.我们用△(i)记P(i)的使得其合成因子具有形式E(j)(j≤i)的极大商模.对偶地,我们用▽(i)记Q(i)的使得其合成因子具有形式E(j)(j≤i)的极大子模.最后,我们分别用△与▽记由△(i)与▽(i),i∈Λ,构成的模类.代数A(更确切地说,二元对(A,Λ))被叫做拟遗传代数,如果(i)End(△(i))k,对于所有的i∈Λ;(ii)每个投射模属于F(△).对于拟遗传代数(A,Λ),我们称Λ为A的权集,Λ的元素为A的权.对于每个权i∈Λ,我们称△(i)为标准模(在特殊情形下,也叫做Verma模,或者Weyl模),称(i)为余标准模.拟遗传代数(A,Λ)的模范畴与其标准模集△成为由Cline,Parshall及Scott定义下的一个权集为Λ的“最高权范畴”.相反地,任意一个带有有限权集的最高权范畴都可看成某个拟遗传代数的模范畴.由于标准模与余标准模的对偶性,一个拟遗传代数的反代数也是拟遗传的.注拟遗传代数的定义依赖于Λ的偏序关系≤.但是,对于偏序关系≤,总存在Λ的一个全序关系≤′,使得相应于关系≤与≤′所定义的拟遗传代数具有一致的标准模和余标准模.因此,在拟遗传代数的定义中我们不妨可以假定Λ是一个全序集.例设A=kQ/I,其中kQ是如下箭图Q的路代数,I是kQ的由道路βα,γδ,δγα,βδγ生成的理想.易见,不可分解投射A-模具有如下的合成因子链:如果我们规定偏序关系123,那么相应的标准模是根据上面的定义可见,相应于偏序关系123,代数A=kQ/I是一个拟遗传代数.(注在域k的特征为2时,上例中的代数A事实上Morita等价于Schur代数S2(2,4).)拟遗传代数的一个常用的等价定义是通过遗传理想给出的.代数A的理想I叫做遗传的,如果(1)I2=I,(2)I(radA)I=0,(3)AI是投射A模(或等价地,IA是投射右A模).A的一个理想链叫做遗传链,假如对于所有的1≤t≤n,It-1/It是商代数A/It的遗传理想.代数A是拟遗传的当且仅当它有一个遗传理想链.给定拟遗传代数A的一个遗传链