拉普拉斯方程的解——分离变量法

王正斌电动力学第二章静电场-13-§§§§2.32.32.32.3拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解————————分离变量法分离变量法分离变量法分离变量法一．拉普拉斯方程的适用条件1．空间处处0=ρ，自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，将这些表面视为区域边界，可以用拉普拉斯方程。2．在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势为已知。①若所求区域为单一均匀介质，则介质中电势为真空中电势εε=0。②若所求区域为分区均匀介质，则不同介质交界面上有束缚面电荷。则区域V中电势可表示为两部分的和φφφ′+=0φ不满足02=∇φ，但φ′使02=′∇φ满足，仍可用拉普拉斯方程求解。但注意，边值关系还要用Sφ而不能用Sφ′。二．拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式1．直角坐标02222222=∂∂+∂∂+∂∂=∇zyxφφφφ令)()()(),,(zZyYxXzyx=φ0000222222=++=+=+=+γβαγβαZdzZdYdyYdXdxXd一般令222212221kkkkk=+=-=-=γβα+=+=+=--kZFkZEzZDeCeyYBeAexXykykxkxkcossin)()()(2211若),(yxφφ=与z无关，=-=-00222222YkdyYdXkdxXd=-=22kkβα00==+γβα特解+=+=-kyDkyCyYBeAexXkxkxcossin)()(若考虑了某些边界条件（有限边界）kkk,,21均与某些正整数有关，它们均可取1，2，…通解还要求取和后才行。王正斌电动力学第二章静电场-14-若)(xφφ=，与zy,无关。BAxdxd+==φφ0222．柱坐标01)(1222222=∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∇zrrrrrφθφφφ仅讨论),(θφφr=与z无关。令)()(),(θθφgrfr==-=+0)()(10)()(22222rfrdrdfrdrdrgdgdνθνθθ解：ιθνθθcossin)(21aag+=)(rf有两个线性无关解νr和ν-r。单值性要求)2()0(πφφ=，ν只能取整数，令n=ν（正整数）通解：[]∑∞=-+++=1)cossin()cossin(),(nnnnnnnnDnCrnBnArrθθθθθφ若)(rφφ=，0)(1=∂∂∂∂rrrrφ，rBACrrln+=⇒=∂∂φφ。3．球坐标∑Φ+=Φ+nmmnnnmnnmmPRbRaRcos)(cos)(),,(1θθφ∑Φ+++nmmnnnmnnmmPRdRcsin)(cos)(1θ)(cosθmnP——缔合勒让德函数（连带勒让德函数）
若φ不依赖于Φ，即φ具有轴对称性通解∑++=nnnnnnPRbRaR)(cos)(),(1θθφ)(cosθnP为勒让德函数，θθcos)(cos110==PP)1cos3(21)(cos22-=θθP…
若φ与Φ,θ均无关，即φ具有球对称性，则通解为：RbaR+=)(φ三．解题步骤1．选择坐标系和电势参考点坐标系选择主要根据区域中分界面形状参考点主要根据电荷分布是有限还是无限2．分析对称性，分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解王正斌电动力学第二章静电场-15-3．根据具体条件确定常数（1）外边界条件：电荷分布有限0=∞φ边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，Sφ给定，或给定总电荷Q，或给定σ（接地0=Sφ）电荷分布无限，一般在均匀场中，zeEErr0=zErE00cos-=-→∞θφ（直角坐标或柱坐标）（2）内部边值关系：介质分界面上SSSSnn∂∂=∂∂=221121φεφεφφ表面无自由电荷。四．应用实例（习题课）1．两无限大平行导体板，相距为l，两板间电势差为V(与zyx,,无关)，一板接地，求两板间的电势φ和Er解：（1）边界为平面，故应选直角坐标系下板接地01=Sφ，为参考点（2）定性分析：由于在lz=处，V=φ常数，可考虑φ与yx,无关。（3）列出方程并给出解：在lz0区域，（4）0)0(0222===∇dzdφρφ方程的解：BAz+=φ（5）定常数：00)0(===BzφlVAVAlVlz====)(φ(6)结果：)0(lzzlV=φ显然满足02=∇φ和边界条件==-=-=-∇=lVEelVedzdEzzrrrφφ常数，均匀场2．一对接地半无限大平板，相距为b，左端有一极板电势为V（常数），求两平行板之间的电势解：（1）边界为平面，选直角坐标系上、下两平板接地，为参考点同样若0≠y或0,=∞→∞→xxbφ（2）z轴平行于两平板，且Vbyx==φ,0,0与z无关，可设),(yxφφ=与z无关。)0,0(022222byxyx∞=∂∂+∂∂=∇φφφxyOVlz=xyz王正斌电动力学第二章静电场-16-+=+==-kyDkyCyYBeAexXyYxXkxkxcossin)()()()(φ)cossin)((),(kyDkyCBeAeyxkxkx++=-φ（3）确定常数A，B，C，D，k①00,0=⇒==Dyφ（A，B不能全为零，否则φ与x无关）。②),3,2,1(0sin0,LL====⇒==nbnknkbkbbyππφ∴φ与n有关，上面解可写为)3,2,1()sin)((),(LL=′+=-nybnCeBeAyxnkxnkxnnπφ通解∑∞==1),(),(nnyxyxφφ③00=⇒=∞→nAxφ)(sin),(nnnxnnCCByebnCyxbn′=′=-ππφ∑∞=-=1sinnxnbnyebnCππφ3．半径a，带有均匀电荷分布σ的无限长圆柱导体，求导体柱外空间的电势和电场。解：电荷分布在无限远，电势零点应选在有限区域，为简单可选在导体面r=a处（即)0)((≡=arφ）。选柱坐标系：对称性分析：①导体为圆柱，柱上电荷均匀分布，φ一定与θ无关。②柱外无电荷，电力线从面上发出后，不会终止到面上，只能终止到无穷远，且在导体面上电场只沿rer方向，可认为φ与z无关，)(rφφ=Cdrdrdrdrdrdr==⇒=∇φφφ0)(102drrCd=φDrCr+=ln)(φ]21[zrrezeererBErrrrr∂∂+∂∂+∂∂=∇-=φθφφφθ当r=a时，0)(=aφ则aCDln-=不选择零点也不影响求场。][lnlnln)(arCrBaBr=+-=φ常数C的确定：∵aBarBadndarar0001εεφεσ-=-=-===∴0εσaC-=ararln)(0εσφ-=xyzorθ王正斌电动力学第二章静电场-17-[若选0)(φφ==aar则ararln)(00εσφφ-=raln00εσφ-=（aaln000εσφφ+=′）]电场Er：reaedrdErrrrr0εσφφ=+=-∇=在表面上reaEarrr0)()(εσ==④∑∞====1sin0nnbynCVVxπφ，由此或定出=nC？两边同乘bymπsin并从0→b积分：∑∫∫∑∫∞=∞===10010sinsinsinsinsinnbnbnnbdybynbymCdybymbynCdybymVπππππ∵xbmnbmndybynbymmnbsin22/0sinsin0δππ==≠=∫（正交归一性）∴∑∫∞===102/2sinnmmnnbbCbCdybymVδπ=′-=′′⋅==∫∫04]cos[2[sin2sin2000ππππππmVymVydymbbVdybymVbCmmbm∑∞=-=L5,3,1/sin14),(mbxmebymmVyxπππφ令L,2,1,012=+=nnm∴∞++=∑∞=+-byxebymnVyxmbxn00)1(sin1214),(0/)12(πππφ4．一半径为a，介电常数为ε的无限长电介质圆柱，柱轴沿zer方向，沿zer方向上有一外加均匀电场0Er，求空间电势分布和柱面上的束缚电荷分布。解：（1）边界为柱面选柱坐标系均匀场电势在无穷远处不为零，故参考点选在有限区域，例如可选在坐标原点==0rφ常数（或0）（2）考虑对称性电势与z无关，设柱内电势为1φ，柱外为2φ（m=奇数）（m=偶数）xyzO王正斌电动力学第二章静电场-18-它们分别满足002212=∇=∇φφ。解为：arnDnCrnBnArnnnnnnn+++=∑∞=-0)]cossin()cossin([)1()1(1)1()1(1θθθθφ∞+++=∑∞=-ranDnCrnBnArnnnnnnn)]cossin()cossin([)2()2(1)2()2(2θθθθφ（3）确定常数①因为有外加均匀场，它们对x轴对称，可考虑1φ、2φ也相对x轴对称（)(θφ为偶函数），所以1φ、2φ中不应包含θnsin项，故：)2()1()2()1(,,,nnnnACAA均为零。②==10φr常数（或零），有限，故1φ中不应有nr-项0)1(≡⇒nD，θφcos02rEr-→∞→，（均匀场电势），因此2φ中不应有nr方项（1≠n）（即得020)2(1≡-=nBEB）∞+-==∑∑∞=-∞=1)2(021)1(1coscos0cosnnnnnnranrDrEarnrBθθφθφ③ar=时，araraarr==∂∂=∂∂=201021φεφεφφ-+-=+-=∑∑∑∑∞=∞=+--∞=∞=-11)1()2(0001)1(11)2(0)1(cos)(coscoscoscoscosnnnnnnnnnnnnnaDnEnanBnaDaEnaBθεθεθεθθθ两边θ为任意值，θcos前系数应相等（L,2,1=n）+-=+-=⇒--=+-==--000)1(12000)2(12)2(1000)1(11)2(10)1(121EBaEDaDEBaDaEaBnεεεεεεεεεε)1(00)1(1)2()1()1()2(01)1()2()1(==⇒-==≠+---nDBanDanBaDaBnnnnnnnnnnnnεε（4）解为01002020002cos0coscosErraaErEarrεφθεεεεφθθεε=-+-=-+∞+（5）求柱内电场：王正斌电动力学第二章静电场-19-)cos(20001xrxE=+-=θεεεφ02110001==++=zyxEEEEεεε∴00012EErrεεε++=仍沿x方向∵1200+εεε∴01EE这是因为介质极化，束缚电荷产生的场与0Er反向00000001EEEEEPrrrrrεεεεεεεε+--=+-=-=（6）柱面上束缚面电荷分布由0)(120=-⋅=+σεσσEEnPrrr∴θεεεεεθεεεθεεεεθεφφεεσcos)(2]cos2coscos[)()(000000000000120120EEEErrEEarnnP+-=+-+-+=∂∂+∂∂-=-==（7）若圆柱为导体，可采用上述方法重新求解，或令∞→ε=+-==θεσθθφφcos2coscos00002021EErarE5．如图所示的导体球（带电Q）和不带电荷的导体球壳，求空间各点的电势及球壳内外面上的感应电荷。解：（1）边界为球形，选球坐标系电荷分布在有限区，选0=∞→rφ（2）设壳外为2区，球壳内为1区，球外为2,φ220φ∇=，球壳内1,φ210φ∇=电荷在球上均匀分布，场具有球对称性，（或常数）1R2R3RQO（若将Q移到壳上，球接地为书中P67例题）王正斌电动力学第二章静电场-20-φ与Φ,θ无关，+=+=)()(21132RRRRbaRRRdCφφ（3）确定常数①RdCR==⇒=→∞21000φφ②σφε=∂∂-=RRR101,0212101104,411πεπεφεQbRRbdsRQSRR=⋅+=∂∂-=∫=③导体壳为等势体203121423RQaRdSSπεφφ+==④在