中考中存在性问题

中考中存在性问题陕西张力凡存在性问题是一种常见的探索性问题，也是中考中命题者用来考查同学们探索能力、猜想能力和归纳能力的常用题型之一，其解法的一般思路是假设存在，然后导出某个结论，如果该结论合理，则说明假设成立，其结论存在；如果该结论不合理，则说明假设错误，所探索的结论不存在．举例如下：例1（2006年诸暨市）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．析解：（1）由已知条件得：梯形周长为24，高为4，面积为28．过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K，则根据已知可求得：1245xFG，∴21224(710)255BEFSBEFGxx△≤≤；（2）存在．理由是：由（1），得22241455xx．解得x1=7，x2=5（舍去）；∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7；（3）不存在．理由是：假设存在，则S△BEF∶SAFECD=1∶2，（BE+BF）∶（AF+AD+CE＋DC）=1∶2，则有221628553xx．整理，得：3x2－24x+70=0．因为方程没有实数解，∴不存在这样的实数x．即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分．例2（2006年烟台市）如图2，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴交于A、C两点．（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D，求证：点D在l2上；（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图象上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．析解：（1）设l2的解析式为y=a（x-h）2+k，∵l1与x轴的交点A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），l1与l2关于x轴对称，∴l2过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4）．∴y=ax2+4．∴0=4a+4，得a=-1．∴l2的解析式为y=-x2+4；（2）设B（x1，y1），∵点B在l1上，∴B（x1，x12-4），∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称，∴B、D关于O对称，∴D（-x1，-x12+4）．将D（-x1，-x12+4）的坐标代入l2：y=-x2+4，得左边=右边，∴点D在l2上；（3）设平行四边形ABCD的面积为S，则1124ABCSSACyy△，①当点B在x轴上方时，y1＞0，∴S=4y1，它是关于y1的正比例函数，且S随y1的增大而增大．∴S既无最大值也无最小值；②当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0，∴S=-4y1，它是关于y1的正比例函数，且S随y1的增大而减小．∴当y1=-4时，S有最大值16，但没有最小值，此时B（0，-4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上．∴AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形，此时S最大=16．我们先来看下面一个作图题.如图1，已知线段AB，在过A点的直线a上求作点P，使△ABP为等腰三角形.分析由于腰和底不确定，所以要按等腰三角形的边分情况讨论；当AB是腰时，哪一个角是顶角不确定，所以再按顶角进一步分类讨论.请读者自行完成，满足条件的点有4个.在近年来的中考题中，涉及等腰三角形的存在性问题很多，其类型及思考方法多为上述作图题(已知一边求作等腰三角形).请看下面两例.例1(07年龙岩市)如图2，抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC.(1)求抛物线的对称轴；(2)写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；(3)探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由.解(1)抛物线的对称轴.(2)由C(0,4)及得B(5,4)，又AC=BC=5，OC=4，∴OA=3.∴A(-3,0).把点A坐标代入y=ax2-5ax+4中，解得，∴.(3)存在符合条件的点P共有3个，以下分三类情形探索.设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M.过点B作BQ⊥x轴于Q，如图3，易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=.①以AB为腰且顶角的顶点为A的△PAB有1个：△P1AB.∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80.在Rt△ANP1中,，∴.②以AB为腰且顶角的顶点为B的△PAB有1个：△P2AB.在Rt△BMP2中，∴.③以AB为底，顶角的顶点为P的△PAB有1个，即△P3AB.画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C.过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，显然Rt△P3CK∽Rt△BAQ.∴.∵P3K=2.5，∴CK=5.于是OK=1.∴P3(2.5,-1).二次函数中考存在性问题专题1.如图：抛物线经过A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（1）解法一：设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－4)因为B（0，4）在抛物线上，所以4＝a(0＋3)(0－4)解得＝－1/3，所以抛物线解析式为2111(3)(4)4333yxxxx（2）连接DQ，在Rt△AOB中，2222345ABAOBO所以AD＝AB＝5，AC＝AD＋CD＝3＋4＝7，CD＝AC－AD＝7–5＝2因为BD垂直平分PQ，所以PD＝QD，PQ⊥BD，所以∠PDB＝∠QDB因为AD＝AB，所以∠ABD＝∠ADB，∠ABD＝∠QDB，所以DQ∥AB所以∠CQD＝∠CBA．∠CDQ＝∠CAB，所以△CDQ∽△CAB，DQCDABCA即210,577DQDQ所以AP＝AD–DP＝AD–DQ＝5–107＝257，2525177t，所以t的值是257（3）答对称轴上存在一点M，使MQ＋MC的值最小理由：因为抛物线的对称轴为122bxa，所以A（－3，0），C（4，0）两点关于直线12x对称，连接AQ交直线12x于点M，则MQ＋MC的值最小过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED＝∠BOA＝90，DQ∥AB，∠BAO＝∠QDE，△DQE∽△ABO，QEDQDEBOABAO即107453QEDE所以QE＝87，DE＝67，所以OE＝OD＋DE＝2＋67＝207，所以Q（207，87）设直线AQ的解析式为(0)ykxmk则2087730kmkm由此得8412441km，所以直线AQ的解析式为8244141yx联立128244141xyx由此得128244141xyx所以M128(,)241则：在对称轴上存在点M128(,)241，使MQ＋MC的值最小．2.（沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转600后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）点E在y轴上理由如下：连接AO，如图所示，在RtABO△中，1AB，3BO，2AO1sin2AOB，30AOB由题意可知：60AOE306090BOEAOBAOE点B在x轴上，点E在y轴上．（2）过点D作DMx轴于点M1OD，30DOM在RtDOM△中，12DM，32OM点D在第一象限，点D的坐标为3122，由（1）知2EOAO，点E在y轴的正半轴上点E的坐标为(02)，点A的坐标为(31)，抛物线2yaxbxc经过点E，2c题意，将(31)A，，3122D，代入22yaxbx中得33213312422abab解得89539ab所求抛物线表达式为：2853299yxx（3）存在符合条件的点P，点Q．理由如下：矩形ABOC的面积3ABBO以OBPQ，，，为顶点的平行四边形面积为23．由题意可知OB为此平行四边形一边，又3OBOB边上的高为2依题意设点P的坐标为(2)m，点P在抛物线2853299yxx上28532299mm解得，10m，2538m1(02)P，，25328P，以OBPQ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQOB∥，3PQOB，当点1P的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(32)Q，，2(32)Q，；当点2P的坐标为5328，时，点Q的坐标分别为313328Q，，43328Q，．yxODECFABM222125454abc111144abc3.（芜湖）如图，已知(4,0)A，(0,4)B，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．（1）求C点坐标及直线BC的解析式;（2）抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为32的点P．解：（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：△ABO∽△ACD，∴49AOBOADCD．由已知(4,0)A，(0,4)B可知：4,4AOBO．∴9ADCD．∴C点坐标为(5,9)．直线BC的解析是为：409450yx，化简得：4yx（2）设抛物线解析式为2(0)yaxbxca，由题意得：24925540cabcbac，解得：∴解得抛物线解析式为2144yxx或22144255yxx．又∵22144255yxx的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．∴满足条件的抛物线解析式为244yxx（准确画出函数244yxx图象）（3）将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到直线AB的距离为h，故P点应在与直线AB平行，且相距32的上下两条平行直线1l和2l上．由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为32．如图，设1l与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，在Rt△BEF中32EFh，45EBFABO，∴6BE．∴可以求得直线1l与y轴交点坐标为(0,10)同理可求得直线2l与y轴交点坐标为(0,2)∴两直线解析式1:10lyx；2:2lyx．根据题意列出方程组：⑴24410yxxyx；⑵2442yxxyx