中国石油大学(华东)高数第6张习题课

一、主要内容基本概念一阶方程类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.全微分方程6.线性方程7.伯努利方程可降阶方程线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4欧拉方程二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法第六章习题课微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降阶作变换作变换积分因子1、基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．dxxfdyyg)()(形如(1)可分离变量的微分方程解法dxxfdyyg)()(分离变量法2、一阶微分方程的解法)(xyfdxdy形如(2)齐次方程解法xyu作变量代换)()(xQyxPdxdy形如(3)一阶线性微分方程,0)(xQ当上方程称为齐次的．上方程称为非齐次的.,0)(xQ当齐次方程的通解为.)(dxxPCey（使用分离变量法）解法非齐次微分方程的通解为dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([（常数变易法）(4)伯努利(Bernoulli)方程nyxQyxPdxdy)()(形如)1,0(n方程为线性微分方程.时，当1,0n方程为非线性微分方程.时，当1,0n解法需经过变量代换化为线性微分方程．,1nyz令.))1)((()()1()()1(1CdxenxQezydxxPndxxPnn3、可降阶的高阶微分方程的解法解法),(xPy令特点.y不显含未知函数),()2(yxfy型)()1()(xfyn接连积分n次，得通解．型解法代入原方程,得)).(,(xPxfP,Py),(xPy令特点.x不显含自变量),()3(yyfy型解法代入原方程,得).,(PyfdydpP,dydpPy４、线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:)1(0)()(yxQyxPy形如定理1如果函数)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个解,那末2211yCyCy也是(1)的解.（21,CC是常数）定理2：如果)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个线性无关的特解,那么2211yCyCy就是方程(1)的通解.（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:)2()()()(xfyxQyxPy形如定理3设*y是)2(的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么*yYy是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.定理4设非齐次方程(2)的右端)(xf是几个函数之和,如)()()()(21xfxfyxQyxPy而*1y与*2y分别是方程,)()()(1xfyxQyxPy)()()(2xfyxQyxPy的特解,那么*2*1yy就是原方程的特解.定理5设非齐次方程(2)的右端)(xf是复值函数,如)()()()(21xfixfyxQyxPy而)()()(21xiyxyxy是此方程的解.的解，是方程则解的虚部)()()()(22xfyxQyxPyxy的解，是方程则解的实部)()()()(11xfyxQyxPyxy５、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn形如n阶常系数线性微分方程0qyypy二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.02qprr0qyypy特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx特征方程为01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为0111nnnnPrPrPr特征方程的根通解中的对应项rk重根若是rxkkexCxCC)(1110ik复根重共轭若是xkkkkexxDxDDxxCxCC]sin)(cos)[(11101110推广：阶常系数齐次线性方程解法n６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程型)()()1(xPexfmx解法待定系数法.,)(xQexymxk设是重根是单根不是根2,10k次多项式是、nxPxexPxexPxfnxnxn)()2(sin)()2(cos)()(2xinexPqyypy)()(xexiPxexPqyypyxnxnsin)(cos)(即的实部与虚部，是特解如果辅助方程有特解*)(),()()()(*)(yxIxRxiIxRexQyxi作辅助方程)(xfqyypy分别是方程与虚部解的实部)()(xIxR.sine)(cose)(的解xxPqyypyxxPqyypyxmxm型]sin)(cos)([)()2(xxPxxPexfnlx],sin)(cos)([)2()1(xxRxxRexymmxk设次多项式，是其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max.1;0是特征方程的单根时不是特征方程的根时iik二、典型例题.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy求通解例1解原方程可化为),cossinsincos(xyxyxyxyxyxyxydxdy,xyu令.,uxuyuxy代入原方程得),cossinsincos(uuuuuuuuxu,cos2cossinxdxduuuuuu分离变量两边积分,lnln)cosln(2Cxuu,cos2xCuu,cos2xCxyxy所求通解为.cosCxyxy.32343yxyyx求通解例2解原式可化为,32342yxyxy,3223134xyxyy即,31yz令原式变为,3232xzxz,322xzxz即一阶线性非齐方程伯努利方程323373232232322323173]73[][][CxxCxxCdxxxxCdxexezydxxdxx或者用公式得.212yyy求通解例5解.x方程不显含,,dydPPyPy令代入方程，得,212yPdydPP,112yCP解得，,11yCP,11yCdxdy即故方程的通解为.12211CxyCC.1)1()1(,2yyexeyyyxx求特解例6解特征方程,0122rr特征根,121rr对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY设原方程的特解为,)(2*xebaxxy,]2)3([)(23*xebxxbaaxy则,]2)46()6([)(23*xebxbaxbaaxy代入原方程比较系数得将)(,)(,***yyy,21,61ba原方程的一个特解为,2623*xxexexy故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy,1)1(y,1)31(21eCC,]6)1()([3221xexxCCCy,1)1(y,1)652(21eCC,31121eCC,651221eCC由解得,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为.26])121(612[23xxxexexexeey).2cos(214xxyy求解方程例７解特征方程,042r特征根,22,1ir对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY设原方程的特解为.*2*1*yyy,)1(*1baxy设,)(*1ay则,0)(*1y，得代入xyy214，xbax2144由，04b，214a解得，0b，81a;81*1xyixxcey2*2)2(设xyy2cos214.2142ixeyy,81icxxixxxixixxeiyix2cos82sin8)2sin2(cos882*2设xxy2sin8*2.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy.)(),(1)()(2此方程的通解（２）的表达式；（１），试求：的齐次方程有一特解为，对应有一特解为设xfxpxxxfyxpy例８解（１）由题设可得：),()1)((2,02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得.3)(,1)(3xxfxxp（２）原方程为.313xyxy，的两个线性无关的特解程是原方程对应的齐次方显见221,1xyy是原方程的一个特解，又xy1*由解的结构定理得方程的通解为.1221xxCCy3)(2)(1)()()()1ln(00)0()0()()2002(923等于等于等于不存在的极限函数时，的特解，则当满足初始条件是二阶常系数微分方程设例DCBAxyxxyyeqyypyxyyx)(lim)00()()1ln(lim,0)0(,0)0()(),()(2020xyxxyxyyxyxyxyxx，可导且是尔阶方程的解，解：由于)00()(2lim0xyxx罗必达法则2)(2lim0xyx罗必达法则)1)0(1)0()0()0((3yqyypyeqyypyx)(33连续qyypeyeqyypyxx体积最小。轴旋转一周的旋转体的围成的平面图形绕轴所以及与使得由曲线的一个解求微分方程例xxxxxyyxyyxyxyx2,1)(),(0d)2(d)2002(1012ddyxxy解：原方程可化为][22cdxeeydxxdxx则22)1(CxxCxx21222)()(2,1dxCxxCVxxxxCxxy体积为轴旋转一周的旋转体的绕轴所围成的平面图形及与直线由曲线2122)()(dxCxxCV)37215531(2CC0)215562()(令CCV12475C为唯一的极小值点，故12475,0562)(CCV212475)(xxxyy也是最小值点，于是得滑过钉子需多少时间．１０米，试问整个链条垂边下垂８米，另一边下运动开始时，链条的一一无摩擦的钉子上，一质量均匀的链条挂在例11解oxm8m10,,,米链条下滑了经过时间设链条的线密度为xt则由牛顿第二定律得,)8()10(22gxgxdtxdm.0)0(,0)0(,99xxgxgx即)18(m解此方程得,1)(21)(3131tgtgeetx,8,x即整个链条滑过钉子代入上式得)().809ln(3秒gt测验题一、选择题:1、一阶线性非齐次微分方程)()(xQyxPy的通解是().(A)