上海中学高三数学复习题型整理分析专题1集合与函数Word版含解析

第一部分集合与函数1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.[举例1]已知集},2|{},,|{2RxyyQRxxyyPx，求QP.分析：集合P、Q分别表示函数2xy与xy2在定义域R上的值域，所以),0[P，),0(Q，),0(QP.[举例2]函数)()()(MxxPxxxf，其中P、M是实数集R的两个非空子集，又规定：(){|(),},(){|(),}FPyyfxxPFMyyfxxM.给出下列四个判断：（1）若MP，则()()FPFM；（2）若MP，则()()FPFM；（3）若,RMP则()()FPFMR；（4）若,RMP则()()FPFMR.其中正确的判断有----------------------------------------------------------------------------------（）A、1个；B、2个；C、3个；D、4个.分析：这是一道比较难的题，涉及到函数的概念，集合的意义.()FP是函数)(Pxxy的值域，()FM是函数)(Mxxy的值域.取),0[P，)0,(M可知（1）、（3）不正确.由函数的定义可知，函数定义域内的任意一个值只能与一个函数值对应，所以若MP，只能是}0{MP，此时()(){0}FPFM，（2）正确.对于命题（4）：设,aPM则aP且aM，若0a，显然有0()FP且0()FM，所以有()()FPFMR；若0a，由aP则()aFP，由aM，则()aFM.若有()aFM，则aM，所以aP，则()aFP，所以()()aFPFM，则()()FPFMR.同理可证，若()aFP，则有()()aFPFM.（4）也正确，选B.2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.[举例]若}2|{},|{2xxBaxxA且BA，求a的取值范围.分析：集合A有可能是空集.当0a时，A，此时BA成立；当0a时，),(aaA，若BA，则2a，有40a.综上知，4a.注意：在集合运算时要注意学会转化BAABA等.3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若BA，则xA是xB的充分条件；若BA，则xA是xB的必要条件；若BA且BA即BA，则xA是xB的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”，是两种不同形式的问题.［举例］设有集合}2|),{(},2|),{(22xyyxNyxyxM，则点MP的＿＿＿＿＿＿＿条件是点NP；点MP是点NP的＿＿＿＿＿＿＿条件.分析：集合M是圆222yx外的所有点的集合，N是直线2xy上方的点的集合.显然有MN.（充分不必要、必要不充分）4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假.［举例］命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它是＿＿＿＿（填真或假）命题.5、若函数)(xfy的图像关于直线ax对称，则有)()(xafxaf或)()2(xfxaf等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数)(xfy的图像关于直线ax的对称曲线是函数)2(xafy的图像，函数)(xfy的图像关于点),(ba的对称曲线是函数)2(2xafby的图像.[举例1]若函数)1(xfy是偶函数，则)(xfy的图像关于＿＿＿＿＿＿对称.分析：由)1(xfy是偶函数，则有)1()1(xfxf，即)1()1(xfxf，所以函数)(xfy的图像关于直线1x对称.或函数)1(xfy的图像是由函数)(xfy的图像向右平移一个单位而得到的，)1(xfy的图像关于y轴对称，故函数)(xfy的图像关于直线1x对称.[举例2]若函数)(xfy满足对于任意的Rx有)2()2(xfxf，且当2x时xxxf2)(，则当2x时)(xf＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：由)2()2(xfxf知，函数)(xfy的图像关于直线2x对称，因而有)4()(xfxf成立.2x，则24x，所以)4()4()4()(2xxxfxf.即2x时209)(2xxxf.6、若函数)(xfy满足：)0)(()(aaxfaxf则)(xf是以a2为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数)(xfy满足：)0)(()(axfaxf则)(xf是以a2为周期的函数.（注意：若函数)(xf满足)(1)(xfaxf，则)(xf也是周期函数）［举例］已知函数)(xfy满足：对于任意的Rx有)()1(xfxf成立，且当)2,0[x时，12)(xxf，则)2006()3()2()1(ffff＿＿＿＿＿＿.分析：由)()1(xfxf知：)()1(]1)1[()2(xfxfxfxf，所以函数)(xfy是以2为周期的周期函数.1)0()2()2004()2006(ffff，1)1()3()2003()2005(ffff，故意原式值为0.7、奇函数对定义域内的任意x满足0)()(xfxf；偶函数对定义域内的任意x满足0)()(xfxf.注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称；若函数)(xfy是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若)(xfy是奇函数且)0(f存在，则0)0(f；反之不然.［举例1］若函数axfx121)(是奇函数，则实数a＿＿＿＿＿＿＿；分析：注意到)0(f有意义，必有0)0(f，代入得21a.这种特值法在解填空、选择题时若能灵活运用，则事半功倍.[举例2]若函数3)2()(2xbaxxf是定义在区间]2,12[aa上的偶函数，则此函数的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：函数是偶函数，必有0)2()12(aa，得1a；又由()yfx是偶函数，因而2b.即]3,3[(3)(2xxxf，所以此函数的值域为]3,6[.8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数)(xfy的图像关于直线ax对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.［举例］若函数)(xfy是定义在区间]3,3[上的偶函数，且在]0,3[上单调递增，若实数a满足：)()12(2afaf，求a的取值范围.分析：因为)(xfy是偶函数，)()12(2afaf等价于不等式)(|)12(|2afaf，又此函数在]0,3[上递增，则在]3,0[递减.所以2|12|3aa，解得211a.9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数)(xfy的图像，作出函数axfyaxfyxfyxfyxfy)(),(|,)(||),(|),(的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注|)(||),(|xfyxfy的图像.［举例］函数|1|12|log|)(2xxf的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：函数|1|12|log|)(2xxf的图像是由函数xy2log的图像经过下列变换得到的：先将函数xy2log的图像上各点的横坐标缩短到原来的21（或将函数xy2log的图像向上平移1个单位）得到函数xy2log2的图像，再将函数xy2log2的图像作关于y轴对称得到函数|2|log2xy的图像，再将函数|2|log2xy的图像向右平移21个单位，得到函数|12|log2xy的图像，再将函数|12|log2xy的图像向下平移1个单位得到函数1|12|log2xy，最后将函数1|12|log2xy的图像在x轴下方部分翻折到x轴上方得到函数|1|12|log|)(2xxf的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化（尤其是与x轴的交点不要搞错），从图像上可以看出此函数的单调递增区间是)1,21[与),23[.需要注意的是：函数图像变化过程：|)(||)(|)(axfyxfyxfy与变化过程：|)(|)()(axfyaxfyxfy不同.前者是先作关于y轴对称后平移，而后者是先平移后再作关于直线ax对称.10、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.［举例1］已知函数1)(,12)(axxgxxf，若不等式)()(xgxf的解集不为空集，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：不等式)()(xgxf的解集不为空集，亦即函数)(xfy的图像上有点在函数)(xgy的图像的上方.函数12)(xxf的图像是x轴上方的半支抛物线，函数1)(axxg的图像是过点)1,0(斜率为a的直线.当21a时直线与抛物线相切，由图像知：12a.（注意图中的虚线也满足题义）[举例2]若曲线1||2xy与直线bkxy没有公共点，则bk,应当满足的条件是.分析：曲线1||2xy是由)0(12xxy与)0(12xxy组成，它们与y轴的交点为)1,0(和)1,0(，图像如图（实线部分）.可以看出若直线bkxy曲线1||2xy的图像没有公共点，此直线必与x轴平行，所以0k，11b.11、一条曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点.一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于x轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？［举例］函数12)(2axxxf，（]4,3[]1,0[x），若此函数存在反函数，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应，平行于x轴的直线与函数的图像至多只有一个交点.又由二次函数12)(2axxxf图像的对称轴为直线xyO2111l1-1xyOax知：0a或4a必存在反函数，10a或43a必不存在反函数.当]3,1[a时如何讨论？注意到函数在区间]1,0[上递减，在]4,3[上递增，所以只要)1()4(ff或)0()3(ff即可.亦即325a或231a.综上知，实数a的取值范围是]0,(),4[]3,25()23,1[.12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于x的）方程